Connectedness of Topological Spaces

位相空間が連結であるとか, 弧状連結であるとかは, 学部の位相空間論の授業で学ぶ。 ほとんどの位相空間論の教科書でも扱われていると思うので, ここでは文献は挙げないことにする。

• 連結 (connected) および連結成分 (connected component)
• 弧状連結 (path-connected) および弧状連結成分 (path components)

更に, 基本群を勉強すると, 単連結という概念を知る。 より一般に, ホモトピー群がどこまで消えているかで定義される連結性もある。

• \(n\)-connected

\(0\)-連結とは弧状連結のことであり, 単連結とは, \(1\)-連結のことである。

この MathOverflow での質問では, \(\R ^{3}\setminus \Q ^{3}\) が単連結か, ということが質問されている。質問者は, \(\R ^{2}\setminus \Q ^{2}\) が弧状連結であることを知って, 1つ次元を上げたら単連結になるか疑問に思ったようである。 答えは, 単連結のようである。

他にも様々な種類の連結性が導入され使われている。例えば, 被覆空間の理論を勉強すると, 次のような連結性を使う必要に迫られる。

• 局所弧状連結 (locally path-connected)
• 半局所単連結 (semilocally simply-connected)

半局所単連結性については, Fischer, Repovs, Virk, Zastrow の [Fis+11] がある。

他に目にしたものとして, 以下のようなものがある。

• uniform-connectedness for uniform spaces [MP64]
• equiconnectedness for proximity spaces [MP64]
• extremeally disconnected [Gle58]
• homologically locally connected [Bre97]

References

[Bre97]

Glen E. Bredon. Sheaf theory. Second. Vol. 170. Graduate Texts in Mathematics. Springer-Verlag, New York, 1997, pp. xii+502. isbn: 0-387-94905-4. url: https://doi.org/10.1007/978-1-4612-0647-7.

[Fis+11]

Hanspeter Fischer, Dušan Repovš, Žiga Virk, and Andreas Zastrow. “On semilocally simply connected spaces”. In: Topology Appl. 158.3 (2011), pp. 397–408. arXiv: 1102.0993. url: https://doi.org/10.1016/j.topol.2010.11.017.

[Gle58]

Andrew M. Gleason. “Projective topological spaces”. In: Illinois J. Math. 2 (1958), pp. 482–489. url: http://projecteuclid.org/euclid.ijm/1255454110.

[MP64]

S. G. Mrówka and W. J. Pervin. “On uniform connectedness”. In: Proc. Amer. Math. Soc. 15 (1964), pp. 446–449. url: https://doi.org/10.2307/2034521.