ホモトピー群

(基点付き) ホモトピー集合 \([\Sigma ^{n}X,Y]_{*}\) は, 定義域 \(X\) が胞体の数が少ない CW複体の場合は, ホモトピー群と呼ばれる。 \(X=S^{0}\) の場合が通常のホモトピー群であり, mod \(n\) Moore space \(X=S^{1}\cup _{n}e^{2}\) の場合が mod \(n\) ホモトピー群である。

ホモトピー群は, ホモロジー群と並んで代数的トポロジーの基本的な道 具であるが, 基本群以外, 初等的な教科書には扱われていな いことが多い。しかしながら Dold-Thomの定理によりホ モロジー群がホモトピー群で表わされることから分るように, ホモトピー論の 視点からは, ホモトピー群 ( ホモトピー集合)の方 が基本的な概念であるといえるだろう。

• 基本群
• ホモトピー群の基本的な性質

ホモトピー群のことが書いてある代数的トポロジーの教科書としては, やはり Whiteheadの本 [Whi78] を挙げるべきだろう。 そして Gray の本 [Gra75] も。 日本語だと, 小松と中岡と菅原の本 [小中菅67] や西田の本 [西田吾85] がある。

これらの本のタイトルが“Homotopy Theory”となっていることからも分かるよ うに, 古典的なホモトピー論の主要な研究対象はホモトピー群, 特に 球面のホモトピー群である。 球面のホモトピー群については, Todaの本[Tod62] を挙げないわけにいかない。

• ホモトピー群の計算方法
• 球面のホモトピー群

ホモトピー群で見たときに球面の対極にあるが Eilenberg-Mac Lane space であるから, 有限CW複体の対極にあるのが, 有限Abel群の Eilenberg-Mac Lane 空間を有限個 fibration で組み合せてできた空間である。 そのような空間は, 最近 \(\pi \)-finite space と呼ばれるようになっている。

• \(\pi \)-finite space

最初にそのような空間に注目したのは Baez と Dolan [BD01] だと思うが, そこでは \(\pi \)-finite space という言葉は使われていない。 最初に使われたのは Lurie の spectral algebraic geometry の本 [Lur] の Appendix E だろうか。その冒頭で定義されている。

コホモロジーを調べるときにコホモロジー作用素が有用なことから, ホモトピー群やホモトピー集合に対しホモトピー作用素の理論が考えられている。

• ホモトピー作用素

ホモトピー群の一般化としては, まず各種ホモトピー集合があるが, 他にも様々 な変種が考えられている。

• ホモトピー群の変種

References

[BD01]

John C. Baez and James Dolan. “From finite sets to Feynman diagrams”. In: Mathematics unlimited—2001 and beyond. Berlin: Springer, 2001, pp. 29–50. arXiv: math/0004133.

[Gra75]

Brayton Gray. Homotopy theory. An introduction to algebraic topology, Pure and Applied Mathematics, Vol. 64. New York: Academic Press [Harcourt Brace Jovanovich Publishers], 1975, pp. xiii+368.

[Lur]

Jacob Lurie. Spectral Algebraic Geometry. url: https://www.math.ias.edu/~lurie/papers/SAG-rootfile.pdf.

[Tod62]

Hirosi Toda. Composition methods in homotopy groups of spheres. Annals of Mathematics Studies, No. 49. Princeton, N.J.: Princeton University Press, 1962, pp. v+193.

[Whi78]

George W. Whitehead. Elements of homotopy theory. Vol. 61. Graduate Texts in Mathematics. New York: Springer-Verlag, 1978, p. xxi 744. isbn: 0-387-90336-4.

[小中菅67]

小松醇郎, 中岡稔, and 菅原正博. 位相幾何学 I. 東京: 岩波書店, 1967.

[西田吾85]

西田吾郎. ホモトピー論. Vol. 16. 共立講座現代の数学. 東京: 共立出版, 1985.