ホモトピー群の計算について

ホモトピー群を調べるときに最も基本となるのは, fibration に対する長い完全列である。 球面のホモトピー群を調べるのに有効な EHP sequence もその一種である。EHP sequence を使うときには, Toda bracket が有効な道具となる。この手の計算については, やはり Toda の本 [Tod62] を見るのが一番よいと思う。また EHP sequence を合せて EHP spectral sequence として考えることもできる。

• EHP sequence
• EHP spectral sequence

より新しい systematic な道具としては, identity functor の Goodwillie tower に associate した spectral sequence がある。

• identity functor の Goodwillie tower に associate したホモピー群を計算する spectral sequence

EHP spectral sequence も Goodwillie spectral sequence も, 共に stable な情報から unstable な情報を得ようとしている点では, 共通点がある。Behrens [Beh12] はその関係を調べ, 一方での情報が分かるともう一方での mysterious な部分が分かると言っている。Behrens は, \(6\)次元の球面までの Goodwillie spectral sequence を “Toda range” (\(19\) stemまで) 計算している。

安定ホモトピー群については, より代数的な方法が開発されている。最も有名なのは Adams スペクトル系列だろう。

• Adams spectral sequence

他には, Kochman [Koc90] による Atiyah-Hirzebruch spectral sequence を 用いたものもある。

Adams spectral sequence は, 計算機による計算の試みもある。 Tangora の [Tan85] など。Kochman のものも計算機にかけるための試みである。

Unstable homotopy group についても, Adams spectral sequence の類似はある。

• unstable Adams spectral sequence

別の方法として, Breen と Mikhailov による[BM11] によるものが登場した。Dold-Puppe の意味の non-additive functor [DP61] の derived functor を使っている。Moore space のホモトピー群の低次の部分などが例として計算されている。

ホモトピー群の計算がこれだけ難しいと, 「本当に計算可能なのか?」と疑ってみたくなる。 「どれぐらい困難なのか?」も知りたい。 実際, その方向の研究もいくつかある。 Cadek ら [Čad+] の Introduction をまず読んでみるとよいと思う。 そこでは, Ed Brown の [Bro57] と Soare の [Soa04] が挙げられている。Soare の論文で議論されているのは, 基本群についてだけであるが。

References

[Beh12]

Mark Behrens. “The Goodwillie tower and the EHP sequence”. In: Mem. Amer. Math. Soc. 218.1026 (2012), pp. xii+90. arXiv: 1009.1125.

[BM11]

Lawrence Breen and Roman Mikhailov. “Derived functors of nonadditive functors and homotopy theory”. In: Algebr. Geom. Topol. 11.1 (2011), pp. 327–415. arXiv: 0910.2817. url: http://dx.doi.org/10.2140/agt.2011.11.327.

[Bro57]

Edgar H. Brown Jr. “Finite computability of Postnikov complexes”. In: Ann. of Math. (2) 65 (1957), pp. 1–20. url: https://doi.org/10.2307/1969664.

[Čad+]

Martin Čadek et al. Computing all maps into a sphere. arXiv: 1105.6257.

[DP61]

Albrecht Dold and Dieter Puppe. “Homologie nicht-additiver Funktoren. Anwendungen”. In: Ann. Inst. Fourier Grenoble 11 (1961), pp. 201–312.

[Koc90]

Stanley O. Kochman. Stable homotopy groups of spheres. Vol. 1423. Lecture Notes in Mathematics. A computer-assisted approach. Berlin: Springer-Verlag, 1990, pp. viii+330. isbn: 3-540-52468-1.

[Soa04]

Robert I. Soare. “Computability theory and differential geometry”. In: Bull. Symbolic Logic 10.4 (2004), pp. 457–486. url: http://dx.doi.org/10.2178/bsl/1102083758.

[Tan85]

Martin C. Tangora. “Computing the homology of the lambda algebra”. In: Mem. Amer. Math. Soc. 58.337 (1985), pp. v+163. url: http://dx.doi.org/10.1090/memo/0337.

[Tod62]

Hirosi Toda. Composition methods in homotopy groups of spheres. Annals of Mathematics Studies, No. 49. Princeton, N.J.: Princeton University Press, 1962, pp. v+193.