Unstable Adams型スペクトル系列

古典的な Adams spectral sequence は, 安定ホモトピー群 (安定ホモトピー集合) を計算するものであるが, 通常のホモトピー群 (集合) を計算するための unstable Adams spectral sequence と呼ばれる spectral sequence もある。

Unstable Adams spectral sequence の構成にはいくつかの方法がある。まずは, Bousfield と Kan の [BK72] を見るべきだろう。 一般ホモロジーの場合, connective spectrum に対しては [BCM78], そして periodic な場合は, [BT00] で構成された。 それらを包括する構成として, Bousfield の [Bou03] がある。

\(E_2\)-term を記述するためには, ordinary mod \(p\) homology の場合は, mod \(p\) Steenrod algebra \(\mathcal{A}_{p}\) 上の unstalbe module の category での homological algebra が必要になる。

• Steenrod algebra 上の unstable module と unstable algebra

Unstable Adams spectral sequence と似た spectral sequenc eとして Goerss と Hopkins [GH00; GH04] の \(E_{\infty }\)-algebra の間の morphism の成す空間のホモトピー群を計算するものがある。

• Goerss-Hopkins spectral sequence

Mandell の [Man01] により, \(p\)-completed nilpotent space から Eilenberg-Mac Lane spectrum \(H\overline{\F }_p\) 上の \(E_{\infty }\)-algebra を作ることができるが, それの Goerss-Hopkins spectral sequence と unstable Adams spectral sequence を比較しようというのは, 自然な問題である。これについては, French [Fre] が調べている。

References

[BCM78]

M. Bendersky, E. B. Curtis, and H. R. Miller. “The unstable Adams spectral sequence for generalized homology”. In: Topology 17.3 (1978), pp. 229–248. url: http://dx.doi.org/10.1016/0040-9383(78)90028-9.

[BK72]

A. K. Bousfield and D. M. Kan. “The homotopy spectral sequence of a space with coefficients in a ring.” In: Topology 11 (1972), pp. 79–106.

[Bou03]

A. K. Bousfield. “Cosimplicial resolutions and homotopy spectral sequences in model categories”. In: Geom. Topol. 7 (2003), 1001–1053 (electronic). arXiv: math/0312531. url: http://dx.doi.org/10.2140/gt.2003.7.1001.

[BT00]

Martin Bendersky and Robert D. Thompson. “The Bousfield-Kan spectral sequence for periodic homology theories”. In: Amer. J. Math. 122.3 (2000), pp. 599–635. url: http://muse.jhu.edu/journals/american_journal_of_mathematics/v122/122.3bendersky.pdf.

[Fre]

Jennifer French. A comparison of spectral sequences computing unstable homotopy groups of \(p\)-complete, nilpotent spaces. arXiv: 0909.4597.

[GH00]

Paul G. Goerss and Michael J. Hopkins. “André-Quillen (co)-homology for simplicial algebras over simplicial operads”. In: Une dégustation topologique [Topological morsels]: homotopy theory in the Swiss Alps (Arolla, 1999). Vol. 265. Contemp. Math. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 2000, pp. 41–85. url: http://dx.doi.org/10.1090/conm/265/04243.

[GH04]

P. G. Goerss and M. J. Hopkins. “Moduli spaces of commutative ring spectra”. In: Structured ring spectra. Vol. 315. London Math. Soc. Lecture Note Ser. Cambridge: Cambridge Univ. Press, 2004, pp. 151–200. url: http://dx.doi.org/10.1017/CBO9780511529955.009.

[Man01]

Michael A. Mandell. “\(E_{\infty }\) algebras and \(p\)-adic homotopy theory”. In: Topology 40.1 (2001), pp. 43–94. url: http://dx.doi.org/10.1016/S0040-9383(99)00053-1.