多項式と関連した話題

代数的トポロジーで登場する多項式としては, まず Poincaré 多項式 (series) がある。より一般に graded vector space に対しては Hilbert series がある。 これらは, 多項式というより, formal power series とみなすべきであるが。

• formal power series

一般的には, 1変数多項式と言えば代数方程式とその解の存在だろう。 有名なのは, 4次以下の代数方程式は四則演算と根号による解法がある, という事実である。

• \(4\)次以下の代数方程式の解法
• Galois theory

5次方程式の場合は, 四則演算と根号による解の公式はないが, 正 \(20\) 面体や 楕円曲線との興味深い関係が知られている。 これについては, Felix Klein の本 [Kle19] がある。日本語版 [Kle12] もある。 解説も色々出ているので, 先にそちらを読んだ方がよいと思うが。 最も新しいものは, Bartlett による Notices of AMS の記事 [Bar24] であるが, とてもワクワクするような文章であり, 最新の情報も含まれている。まずはこれを読むべきだろう。 そこに挙げられている文献としては, Bessels の thesis [Bes06], Nash の解説 [Nas14], Duke の [Duk05], Shurman の [Shu97] などがある。この中では, Bessels の thesis がよいと思う。

多項式のみについて書かれた本は知らないが, 様々な本に準備として書かれている。例えば, Michałek と Sturmfels の本 [MS21] の Chapter 1 など。 Michałek の website から download できる。

トポロジーに関係した多項式としては, まず各種多項式不変量がある。

• Jones polynomial などの knot や link の多項式不変量
• Tutte polynomial などの graph の多項式不変量
• Bollobas-Riordan polynomial などの ribbon graph に対する多項式不変量
• hyperplane arrangement から定義される多項式
• matroid から定義される多項式

最近目にした話題としては, Hyde の factorization statistics [Hyd20] が面白そうである。

• factorization statistics

有限体 \(\F _{q}\) 上の次数 \(d\) の1変数 monic 多項式の集合 \(\mathrm {Poly}_{d}(\F _{q})\) 上の関数で, 多項式の irreducible factor にしか依らないもののことである。

\(\R ^{3}\) の \(d\) 個の点の configuration space \(\mathrm {Conf}_{d}(\R ^{3})\) の \(\Q \) 係数 cohomology を対称群 \(\Sigma _{d}\) の表現とみなしたものと関係がある, というのが Hyde の発見である。

とても不思議であるが, Petersen と Tosteson [PT21] は, Proudfoot が [Pro07] で導入した hyperplane arrangement の complement の代数多様体 (scheme) を用いたモデルを用いることにより, Hyde の定理の意味を説明している。

圏論的類似として, polynomial functor と呼ばれるものがある。 例えば Gambino と Kock [GK13] のものや, Eilenberg と Mac Lane [EM54] のもの, そして Friedlander と Suslin [FS97] が導入した, strict polynomial functor など。 Goodwillie の関手の微積分では, 関数の多項式近似を関手に対して考えるので, 当然 polynomial functor のようなものが現れる。 このように, “polynomial functor” という言葉は様々なものを意味するので, 注意が必要である。

• Eilenberg と Mac Lane の polynomial functor

多変数の多項式の成す環 \(k[x_{1},\ldots ,x_{n}]\) は, 可換環を表示するもとになるものであるが, コホモロジーは (次数付き) 可換環なので, コホモロジーを生成元と関係式で表示するときに, 必要になる。

• polynomial algebra

多項式の零点として表される空間が affine algebraic variety であるが, polynomial algebra と affine algebraic variety についても, 前述の Michałek と Sturmfels の本 [MS21] に書かれている。

他に, このサイトにある多項式に関連したページを挙げると以下のようになる。

• symmetric function
• Macdonald polynomial
• umbral calculus

References

[Bar24]

Bruce Bartlett. “The quintic, the icosahedron, and elliptic curves”. In: Notices Amer. Math. Soc. 71.4 (2024), pp. 444–453. url: https://www.ams.org/journals/notices/202404/rnoti-p444.pdf.

[Bes06]

Sander Bessels. One step beyond the solvable equation. 2006. url: https://math.sun.ac.za/bbartlett/assets/quintic/bessels.pdf.

[Duk05]

W. Duke. “Continued fractions and modular functions”. In: Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.) 42.2 (2005), pp. 137–162. url: https://doi.org/10.1090/S0273-0979-05-01047-5.

[EM54]

Samuel Eilenberg and Saunders Mac Lane. “On the groups \(H(\Pi ,n)\). II. Methods of computation”. In: Ann. of Math. (2) 60 (1954), pp. 49–139. url: https://doi.org/10.2307/1969702.

[FS97]

Eric M. Friedlander and Andrei Suslin. “Cohomology of finite group schemes over a field”. In: Invent. Math. 127.2 (1997), pp. 209–270. url: http://dx.doi.org/10.1007/s002220050119.

[GK13]

Nicola Gambino and Joachim Kock. “Polynomial functors and polynomial monads”. In: Math. Proc. Cambridge Philos. Soc. 154.1 (2013), pp. 153–192. arXiv: 0906.4931. url: http://dx.doi.org/10.1017/S0305004112000394.

[Hyd20]

Trevor Hyde. “Polynomial factorization statistics and point configurations in \(\R ^3\)”. In: Int. Math. Res. Not. IMRN 24 (2020), pp. 10154–10179. arXiv: 1802.00305. url: https://doi.org/10.1093/imrn/rny271.

[Kle12]

Felix Klein. 正 \(20\) 面体と \(5\) 次方程式. Vol. 5. 数学クラシックス. 改訂新版. 東京: 丸善出版, 2012.

[Kle19]

Felix Klein. Lectures on the icosahedron and the solution of equations of the fifth degree. Vol. 5. CTM. Classical Topics in Mathematics. Reproduction of [ 1315530] with a new introduction and commentary by Peter Slodowy, translated by Lei Yang, Translated by George Gavin Morrice, With a new introduction and commentary by Peter Slodowy (translated by Lei Yang). Higher Education Press, Beijing, 2019, pp. xiv, XI+306. isbn: 978-7-04-051022-5.

[MS21]

Mateusz Michałek and Bernd Sturmfels. Invitation to nonlinear algebra. Vol. 211. Graduate Studies in Mathematics. American Mathematical Society, Providence, RI, [2021] ©2021, pp. xiii+226. isbn: 978-1-4704-5367-1. url: https://doi.org/10.1090/gsm/211.

[Nas14]

Oliver Nash. “On Klein’s icosahedral solution of the quintic”. In: Expo. Math. 32.2 (2014), pp. 99–120. arXiv: 1308.0955. url: https://doi.org/10.1016/j.exmath.2013.09.003.

[Pro07]

Nicholas Proudfoot. “A non-Hausdorff model for the complement of a complexified hyperplane arrangement”. In: Proc. Amer. Math. Soc. 135.12 (2007), pp. 3989–3994. arXiv: math/0507378. url: https://doi.org/10.1090/S0002-9939-07-08949-6.

[PT21]

Dan Petersen and Philip Tosteson. “Factorization statistics and bug-eyed configuration spaces”. In: Geom. Topol. 25.7 (2021), pp. 3691–3723. arXiv: 2004.06024. url: https://doi.org/10.2140/gt.2021.25.3691.

[Shu97]

Jerry Shurman. Geometry of the quintic. A Wiley-Interscience Publication. John Wiley & Sons, Inc., New York, 1997, pp. xii+200. isbn: 0-471-13017-6.