Symmetric function とその変種

\(1\)変数多項式環の \(n\)個の tensor product への 対称群の自然な作用による invariant を symmetric function (polynomial) という。 代数的トポロジーでは, まず特性類, 特に Chern class の定義に必要である。

Chern class とは \(\mathrm {BU}\) の cohomology の, 代数としての生成元をうまく選んだものであるが, 基本対称式を用いて定義する理由は, \(U(n)\) の Weyl群が, \(n\)次 対称群だからである。

• 基本対称式
• 任意の対称式は基本対称式の多項式で表わされる
• \(\mathrm {BU}\) の整係数コホモロジー環は, symmetric function の成 す Hopf algebra と同一視できる

Adem と Rechstein [AR10] は \[ U(n)/T^n \longrightarrow BT^n \longrightarrow \mathrm {BU}(n) \] を \[ U(n)\times _{T^n} (S^{2d+1})^n \longrightarrow (\CP ^{d})^n \longrightarrow \mathrm {BU}(n) \] に取り替えることにより, truncated symmetric polynomial を考えている。 Truncated symmetric polynomial については, Conca と Krattenhaler と Watanabe の [CKW09] でも考えられているようである。

\(\mathrm {BU}\) のコホモロジーは, self-dual Hopf algebra なので, symmetric function の成す Hopf algebra は, \(H_{*}(\mathrm {BU})\) とみなすこともできる。 他にも, 対称群の表現環 \(\bigoplus _{n}R(\Sigma _{n})\) とか, 1つの生成元を持つ universal \(\lambda \)-ring など, 様々な解釈ができる。これについては, Hazewinkel の [Haz03] の section 2 をみるとよい。

対称式の一般化については, Hazewinkel の [Haz03; Haz06] を見るとよい。Hazewinkel の取り上げているのは, noncommutative symmetric function と quasisymmetric function である。 もっとも, それらの成す Hopf algebra は互いに dual になっているので, まとめて勉強する方がよいと思う。 ただ, 非可換版には noncommutative symmetric function 以外のアプローチもある。

• quasisymmetric function
• noncommutative versions of symmetric functions

Desrosiers, Lapointe, Mathieu [DLM; DLM06] は, anti-commutative な変数も持つ, つまり 外積代数を tensor してできる代数での類似を考えている。Symmetric function in superspace と呼ばれている。Quasisymmetric function や noncommutative symmetric function の superspace 版も [FLP19] などで考えられている。

• symmetric function in superspace
• quasisymmetric function in superspace
• noncommutative symmetric function in superspace

これら, symmetric function やその類似については, combinatorial Hopf algebra とい う種類の Hopf algebra を成すことが重要である。

例えば, Aguiar と Bergeron と Sottile [ABS06] は, symmetric function の成す Hopf algebra が, cocommutative combinatorial Hopf algebra の category の terminal object であることを示している。また, quasisymmetric function も含めた, 様々 symmetric function の一般化が, combinatorial Hopf algebra として定義されている。

• combinatorial Hopf algebra

Symmetric function の成す Hopf algebra が, \(\mathrm {BU}\) のコホモロジーと同一視できることから, Aguiar-Bergeron-Sottile の結果を, \(\mathrm {BU}\) を用いて位相空間のレベルに持ち上げることが考えられるが, それは, Thomas Lam [Lam11] によって証明されている。 Lam は, Hopf 空間 \(X\) 上の principal \(U\)-bundle \(E\to X\) で「積を持つ」ものの成す圏を設定し, bundle \(\mathrm {EU}\to \mathrm {BU}\) がその圏の terminal object であることを示している。

別の 組み合せ論的対象と関係した symmetric function の変種としては, Stanley の chromatic symmetric function [Sta95] がある。その名の通り graph の chromatic polynomial と関係がある。 その quasisymmetric 版については, Shareshian と Wachs [SW12; SW16] により調べられている。

• chromatic symmetric function
• chromatic quasisymmetric function

Chmutov, Kazarian, Lando [CKL20] によると, chromatic symmetric function は KP hierarchy と関係があるらしい。

Dudina と Zhukov [DZ] は, chromatic symmetric function の binary delta-matroid への一般化を得ている。

Symmetric polynomial の非可換版については, Vaccarino が [Vac] で調べているものもある。ある可換環 \(k\) 上の module \(M\) に対し, \(M^{\otimes n}\) への \(\Sigma _n\) の作用による invariant の成す module を考える。特に \(M\) が tensor algebra のときに, そのAbel化した代数を行列の monoid ring の \(\GL \) による invariant として記述している。また [Vac07] では, \(M\) が多項式環の場合を調べている。

Categorification の視点から, symmetric function の成す環の “odd counterpart” を考えているのは, Ellis と Khovanov [EK12] である。Brundan と Kleshchev の [BK] の section 4 に簡潔にまとめられている。

• odd symmetric function

通常の symmetric function の成す環は, 多項式環の対称群による invariants であるが, Lauda と Russel [LR14] は, Ellis と Khovanov の ring of odd symmetric functions も, skew polynomial ring の Hecke algebra による invariants として表せることを示している。

References

[ABS06]

Marcelo Aguiar, Nantel Bergeron, and Frank Sottile. “Combinatorial Hopf algebras and generalized Dehn-Sommerville relations”. In: Compos. Math. 142.1 (2006), pp. 1–30. arXiv: math/0310016. url: http://dx.doi.org/10.1112/S0010437X0500165X.

[AR10]

Alejandro Adem and Zinovy Reichstein. “Bundles, cohomology and truncated symmetric polynomials”. In: Doc. Math. 15 (2010), pp. 1029–1047. arXiv: 0906.4799.

[BK]

Jonathan Brundan and Alexander Kleshchev. Odd Grassmannian bimodules and derived equivalences for spin symmetric groups. arXiv: 2203.14149.

[CKL20]

Sergei Chmutov, Maxim Kazarian, and Sergei Lando. “Polynomial graph invariants and the KP hierarchy”. In: Selecta Math. (N.S.) 26.3 (2020), Paper No. 34, 22. arXiv: 1803.09800. url: https://doi.org/10.1007/s00029-020-00562-w.

[CKW09]

Aldo Conca, Christian Krattenthaler, and Junzo Watanabe. “Regular sequences of symmetric polynomials”. In: Rend. Semin. Mat. Univ. Padova 121 (2009), pp. 179–199. arXiv: 0801.2662.

[DLM]

P. Desrosiers, L. Lapointe, and P. Mathieu. Symmetric functions in superspace. arXiv: math/0412306.

[DLM06]

Patrick Desrosiers, Luc Lapointe, and Pierre Mathieu. “Classical symmetric functions in superspace”. In: J. Algebraic Combin. 24.2 (2006), pp. 209–238. arXiv: math/0509408. url: https://doi.org/10.1007/s10801-006-0020-9.

[DZ]

Marina Dudina and Vyacheslav Zhukov. An extension of Stanley’s chromatic symmetric function to binary delta-matroids. arXiv: 1809.03431.

[EK12]

Alexander P. Ellis and Mikhail Khovanov. “The Hopf algebra of odd symmetric functions”. In: Adv. Math. 231.2 (2012), pp. 965–999. arXiv: 1107.5610. url: https://doi.org/10.1016/j.aim.2012.04.031.

[FLP19]

Susanna Fishel, Luc Lapointe, and María Elena Pinto. “Hopf algebra structure of symmetric and quasisymmetric functions in superspace”. In: J. Combin. Theory Ser. A 166 (2019), pp. 144–170. arXiv: 1907.09975. url: https://doi.org/10.1016/j.jcta.2019.02.016.

[Haz03]

Michiel Hazewinkel. “Symmetric functions, noncommutative symmetric functions, and quasisymmetric functions”. In: Acta Appl. Math. 75.1-3 (2003). Monodromy and differential equations (Moscow, 2001), pp. 55–83. arXiv: math/0410468. url: http://dx.doi.org/10.1023/A:1022323609001.

[Haz06]

Michiel Hazewinkel. “Symmetric functions, noncommutative symmetric functions and quasisymmetric functions. II”. In: Noncommutative algebra and geometry. Vol. 243. Lect. Notes Pure Appl. Math. Chapman & Hall/CRC, Boca Raton, FL, 2006, pp. 126–146. arXiv: math.QA/0410470.

[Lam11]

Thomas Lam. “Affine Schubert classes, Schur positivity, and combinatorial Hopf algebras”. In: Bull. Lond. Math. Soc. 43.2 (2011), pp. 328–334. arXiv: 0906.0385. url: http://dx.doi.org/10.1112/blms/bdq110.

[LR14]

Aaron D. Lauda and Heather M. Russell. “Oddification of the cohomology of type \(A\) Springer varieties”. In: Int. Math. Res. Not. IMRN 17 (2014), pp. 4822–4854. arXiv: 1203.0797. url: https://doi.org/10.1093/imrn/rnt098.

[Sta95]

Richard P. Stanley. “A symmetric function generalization of the chromatic polynomial of a graph”. In: Adv. Math. 111.1 (1995), pp. 166–194. url: http://dx.doi.org/10.1006/aima.1995.1020.

[SW12]

John Shareshian and Michelle L. Wachs. “Chromatic quasisymmetric functions and Hessenberg varieties”. In: Configuration spaces. Vol. 14. CRM Series. Ed. Norm., Pisa, 2012, pp. 433–460. arXiv: 1106.4287. url: https://doi.org/10.1007/978-88-7642-431-1_20.

[SW16]

John Shareshian and Michelle L. Wachs. “Chromatic quasisymmetric functions”. In: Adv. Math. 295 (2016), pp. 497–551. arXiv: 1405.4629. url: https://doi.org/10.1016/j.aim.2015.12.018.

[Vac]

F. Vaccarino. Generalized symmetric functions. arXiv: math/0605443.

[Vac07]

Francesco Vaccarino. “Linear representations, symmetric products and the commuting scheme”. In: J. Algebra 317.2 (2007), pp. 634–641. arXiv: math/0602660. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.jalgebra.2007.06.033.