外積代数

外積代数 (exterior algebra) は, graded commutative algebra としては, 多項式環と並んで, 最も基本的なものの一つである。例えば, 有限次元 Lie 群の \(\Q \) 係数のコホモロジーは外積代数になっている。

文献としてどれを見るのがよいかよく分からないが, Chaiken の [Cha] の exterior algebra の section では, Jacobson の代数の教科書の §7.1 から §7.2 が参照されている。 Staic [Sta23] は, Fløystad の AMS Notices の記事 [Flø15] を参照している。

どのような分野で使われているかについては, その Fløystad 記事 [Flø15] に簡潔にまとめられている。 そこで紹介されているのは以下の分野である:

• 組み合せ論
• トポロジー
• Lie theory
• 数理物理
• 代数幾何学

外積代数に対しては, その上の stable module category と projective space 上の coherent sheaf の bounded derived category の間に, 有名な Bernstein-Gelfand-Gelfand (BGG) correspondence という対応 [BGG78] がある。 [EFS03] や [HW08] を見るとよい。

BGG correspondece は, 外積代数と多項式環の関係と考えることができる。よって Koszul duality と関係がある。その視点からの拡張としては, Jorgensen の [Jør05] や Martinez Villa と Saorin の [MS04] などがある。

He と Wu の [HW08] では, Koszul algebra の differential graded version が定義され, BGG correspondence の拡張が証明されている。

一般化としては, まず Berenstein と Zwicknagl [BZ08] による braided vector space での exterior algebra がある。 Staic [Sta23] は, operad を用いた一般化を導入している。

最近では, tropoical geometry や \(\F _{1}\)-geometry に関連した一般化が導入されている。Giansiracusa と Giansiracusa の [GG18] や, Jarra の [Jar] など。

References

[BGG78]

I. N. Bernšteı̆n, I. M. Gel\('\)fand, and S. I. Gel\('\)fand. “Algebraic vector bundles on \(\mathbf {P}^{n}\) and problems of linear algebra”. In: Funktsional. Anal. i Prilozhen. 12.3 (1978), pp. 66–67.

[BZ08]

Arkady Berenstein and Sebastian Zwicknagl. “Braided symmetric and exterior algebras”. In: Trans. Amer. Math. Soc. 360.7 (2008), pp. 3429–3472. arXiv: math/0504155. url: http://dx.doi.org/10.1090/S0002-9947-08-04373-0.

[Cha]

Seth Chaiken. Ported Tutte Functions of Extensors and Oriented Matroids. arXiv: math/0605707.

[EFS03]

David Eisenbud, Gunnar Fløystad, and Frank-Olaf Schreyer. “Sheaf cohomology and free resolutions over exterior algebras”. In: Trans. Amer. Math. Soc. 355.11 (2003), pp. 4397–4426. arXiv: math/0104203. url: https://doi.org/10.1090/S0002-9947-03-03291-4.

[Flø15]

Gunnar Fløystad. “The exterior algebra and central notions in mathematics”. In: Notices Amer. Math. Soc. 62.4 (2015), pp. 364–371. arXiv: 1504.06971. url: https://doi.org/10.1090/noti1234.

[GG18]

Jeffrey Giansiracusa and Noah Giansiracusa. “A Grassmann algebra for matroids”. In: Manuscripta Math. 156.1-2 (2018), pp. 187–213. arXiv: 1510 . 04584. url: https://doi.org/10.1007/s00229-017-0958-z.

[HW08]

J.-W. He and Q.-S. Wu. “Koszul differential graded algebras and BGG correspondence”. In: J. Algebra 320.7 (2008), pp. 2934–2962. arXiv: 0712.1324. url: https://doi.org/10.1016/j.jalgebra.2008.06.021.

[Jar]

Manoel Jarra. Exterior algebras in matroid theory. arXiv: 2202. 08328.

[Jør05]

Peter Jørgensen. “A noncommutative BGG correspondence”. In: Pacific J. Math. 218.2 (2005), pp. 357–377. arXiv: math/0303209. url: http://dx.doi.org/10.2140/pjm.2005.218.357.

[MS04]

Roberto Martínez Villa and Manuel Saorín. “Koszul equivalences and dualities”. In: Pacific J. Math. 214.2 (2004), pp. 359–378. url: http://dx.doi.org/10.2140/pjm.2004.214.359.

[Sta23]

Mihai D. Staic. “The exterior graded Swiss-cheese operad \(\Lambda ^{S^2}_V\)”. In: Comm. Algebra 51.7 (2023), pp. 2705–2728. arXiv: 2002.00520. url: https://doi.org/10.1080/00927872.2023.2171426.