代数的トポロジーに現われる各種 (次数付き) 代数

ホモロジーやホモトピー群を扱う上で, 様々な (次数付きの) 代数的対象が必要になる。

まず基本的なものは, 以下のものである。次数の付いていない場合と, 付いている場合の定義, そしてそれらの間の morphism の定義を知っている必要がある。 これらは全て可換環 \(k\) 上の (次数付き) 加群の圏で考えられる。

• associative algebra
• coalgebra
• bialgebra
• Lie algebra
• restricted Lie algebra
• Hopf algebra
• Hopf algebroid
• Frobenius algebra
• division algebra
• semialgebra [Pos10]

次数付きの場合は, まずは Milnor と Moore の次数付き Hopf algebra についての論文 [MM65] を読むとよい, と思う。 より一般的な Hopf algebroid などの概念を理解するためにも, Hopf algebra の場合に慣れておくとよい。 ただし, Milnor と Moore の論文は, Hopf algebra を勉強するためには, 適当ではない。antipode のことを canonical antiautomorphism と呼んでいるなど, 用語が今の Hopf algebra の理論で使われているものとかなり異なっている。 更に, 次数付きで連結な Hopf algebra は, いつでも antipode を構成できるため, antipode の存在を仮定していない。 Hopf algebra については, Sweedler の [Swe69] や Abe の [Abe80] などを読んだ方がよい。

空間のcommutative ring spectrum で定義されたコホモロジーや, commutative ring spectrum のホモトピー群は, graded Abelian group の圏での commutative monoid object になる。具体的には, 積が Koszul sign rule \[ x\otimes y = (-1)^{\mathrm {deg}(x)\mathrm {deg}(y)}y\otimes x \] をみたす graded ring であるが, graded commutative ring と呼ぶのが普通だろう。 当然, 代数的トポロジーでは古くから使われてきたものである。

Hesselholt と Pstragowski [HPa; HPb] は, Dirac ring と呼んで, 代数幾何学を可換環から Dirac ring に拡張することを考えている。

• graded commutative ring あるいは Dirac ring

当然であるが, 具体例も, できるだけたくさん知っておきたい。

• 多項式環 (polynomial algebra)
• 外積代数 (exterior algebra)
• divided power Hopf algebra
• primitively generated な多項式環の dual は divided power Hopf algebra
• tensor algebra

可換環上の differential operator を tensor algebra に拡張するために考えられたのが, twisted commutative algebra という概念らしい。Ginzburg と Schedler [GS10] によると, 既に1950年代に代数的トポロジーで発見されていた概念のようである。

• twisted associative algebra
• twisted commutative algebra

可換環 \(k\) 上の “algebra” の圏から \(k\)-module の圏へは, forgetful functor がある。

\[ \begin {split} \enriched {k}{\category {Algebra}} & \longrightarrow & \lMod {k} \\ \enriched {k}{\category {Coalgebra}} & \longrightarrow & \lMod {k} \\ & \vdots \end {split} \]

これらの functor の left adjont は, free object を対応させる functor である。 各種 “algebra” の圏における free object が何か, 考えておくとよい。

これら (co)algebra を調べるためには, その上の (co)module を調べることが基本となる。

• algebra 上の module
• coalgebra 上の comodule や contramodule
• Lie algebra 上の module
• restricted Lie algebra 上の module
• Hopf algebroid 上の comodule
• semialgebra 上の semimodule [Pos10]

もちろん, これら全てに次数付きのものが考えられる。次数付きの module 等については Hilbert series が定義される。行列に係数を持つ Hilbert series を考えることもできる。

• Hilbert series

以上で使った「次数」は, \(\Z \) による次数付けのことであるが, より一般の群や, 更には small category による次数付けも考えられている。 代数的トポロジーでは, 群の表現による grading が, equivariant homology などで使われる。

• 次数付けについて

“よい”スペクトラム \(E\) に対し, \(E_*(E)\) は Hopf algebroid になり, \(E\) 係数のホモロジー \(E_*(X)\) は \(E_*(E)\) 上の comodule になる。よって 安定ホモトピー論にとって, Hopf algebroid とその上の comodule は自然な研究対象である。

これらの (co)module に対し, (co)hom や (co)tensor product などの\(2\)変数関手が定義される。

• tensor product
• cotensor product
• Hom
• Cohom

これらの関手, 及びそれらの derived functor については, まずは Milnor と Moore の論文 [MM65], そして Eilenberg と Moore の論文 [EM64; EM66] を見るとよい。Milnor と Moore の論文にあるHopf代数に関連した概念は, 代数的トポロジーを専攻するなら, 全て必要になる。

以上の概念には全てに微分付きの場合が考えられる。 積をもつ代数的対象の微分を考えるときには, 積の微分の公式 (Leibniz rule) が成り立っているもの, つまり derivation を考える。

• differential graded object

Graded algebra の一般化 (many-objectification) として, \(\Z \)-graded (\(k\)-linear) category, そしてその微分付きの dg category がある。 それらの上の module の圏や, その derived category も考えられている。 群やより一般の small category による grading を持つ category を考えることもできる。

• \(\Z \)-graded linear category
• dg category
• 群の圏への作用
• graded category

References

[Abe80]

Eiichi Abe. Hopf algebras. Vol. 74. Cambridge Tracts in Mathematics. Translated from the Japanese by Hisae Kinoshita and Hiroko Tanaka. Cambridge: Cambridge University Press, 1980, p. xii 284. isbn: 0-521-22240-0.

[EM64]

Samuel Eilenberg and J. C. Moore. “Homological algebra and fibrations”. In: Colloque de Topologie (Brussels, 1964). Librairie Universitaire, Louvain, 1964, pp. 81–90.

[EM66]

Samuel Eilenberg and John C. Moore. “Homology and fibrations. I. Coalgebras, cotensor product and its derived functors”. In: Comment. Math. Helv. 40 (1966), pp. 199–236. url: https://doi.org/10.1007/BF02564371.

[GS10]

Victor Ginzburg and Travis Schedler. “Differential operators and BV structures in noncommutative geometry”. In: Selecta Math. (N.S.) 16.4 (2010), pp. 673–730. arXiv: 0710.3392. url: http://dx.doi.org/10.1007/s00029-010-0029-8.

[HPa]

Lars Hesselholt and Piotr Pstragowski. Dirac geometry I: Commutative algebra. arXiv: 2207.09256.

[HPb]

Lars Hesselholt and Piotr Pstragowski. Dirac geometry II: Coherent cohomology. arXiv: 2303.13444.

[MM65]

John W. Milnor and John C. Moore. “On the structure of Hopf algebras”. In: Ann. of Math. (2) 81 (1965), pp. 211–264. url: http://dx.doi.org/10.2307/1970615.

[Pos10]

Leonid Positselski. Homological algebra of semimodules and semicontramodules. Vol. 70. Instytut Matematyczny Polskiej Akademii Nauk. Monografie Matematyczne (New Series) [Mathematics Institute of the Polish Academy of Sciences. Mathematical Monographs (New Series)]. Semi-infinite homological algebra of associative algebraic structures, Appendix C in collaboration with Dmitriy Rumynin; Appendix D in collaboration with Sergey Arkhipov. Birkhäuser/Springer Basel AG, Basel, 2010, pp. xxiv+349. isbn: 978-3-0346-0435-2. arXiv: 0708 . 3398. url: http://dx.doi.org/10.1007/978-3-0346-0436-9.

[Swe69]

Moss E. Sweedler. Hopf algebras. Mathematics Lecture Note Series. W. A. Benjamin, Inc., New York, 1969, pp. vii+336.