Divided power Hopf algebra

Divided power algebra は, 誰がいつ導入したのだろうか? Ikonicoff の [Iko20] では, “divided power algebra” という用語は, Norbert Roby の [Rob65] や Cartan seminar [56] で登場すると書かれている。 Ikonicoff は, [Iko] では, Henri Cartan により, Eilenberg-Mac Lane space の homology を調べるために導入された, と書いている。恐らくこれが最初なのだろう。

代数的トポロジーの視点からは, polynomial algebra \(k[x_{1},\ldots ,x_{n}]\) を primitively generated (graded commutative) Hopf algebra とみなし, その dual Hopf algebra として, \(\Gamma (x_{1}^*,\ldots ,x_{n}^{*})\) を定義するのがよいと思う。 Eilenberg-Mac Lane space \(K(\Z /p\Z ,n)\) の \(\F _{p}\)係数 cohomology は, \(p=2\) ならば primitively generated polynomial algebra であるので, homology は divided power algebra になる。 \(p\) が奇素数なら, cohomology は primitively generated polynomial algebra と exterior algebra の tensor product なので, homology は divided power algebra と exterior algebra の tensor product となる。

• polynomial Hopf algebra の dual としての divided power algebra

M. André の [And71]では, より一般に, algebra with divided power と Hopf algebra with divided power の定義が与えられ、次のことが証明されている。

• 体上で定義された連結有限型の graded Hopf algebra with divided power の dual は, graded Lie algebra の universal enveloping algebra と同型になる。

Ikonicoff [Iko20] によると, 現在では, 可換環を表す operad \(\cC \mathrm{om}\) から, operad \(\Gamma (\cC \mathrm{om})\) を作り, その上の algebra として定義するのがよいようである。

References

[56]

Séminaire Henri Cartan de l’Ecole Normale Supérieure, 1954/1955. Algèbres d’Eilenberg-MacLane et homotopie. 2ème éd. Secrétariat mathématique, 11 rue Pierre Curie, Paris, 1956, pp. iii+234.

[And71]

M. André. “Hopf algebras with divided powers”. In: J. Algebra 18 (1971), pp. 19–50.

[Iko]

Sacha Ikonicoff. Divided power algebras and distributive laws. arXiv: 2104.11736.

[Iko20]

Sacha Ikonicoff. “Divided power algebras over an operad”. In: Glasg. Math. J. 62.3 (2020), pp. 477–517. arXiv: 1712.03694. url: https://doi.org/10.1017/s0017089519000223.

[Rob65]

Norbert Roby. “Les algèbres à puissances divisées”. In: Bull. Sci. Math. (2) 89 (1965), pp. 75–91.