Hopf algebraの基本

Hopf algebra, 特に次数付きのものについては, やはり Milnor と Moore の論文 [MM65] が基本的な文献である。

一般的な Hopf algebra についてまとめられた本としては, まずは Sweedler の本 [Swe69] を挙げるべきだろう。日本語だと阿部の本 [阿部英17] がある。 他にも沢山あるが, 目にしたことがあるものを挙げると以下のようになる:

• Montgomery の本 [Mon93]
• Schneider の lecture notes [Sch95]
• Manchon の lecture notes [Man03]
• K.A. Brown の lecture notes [Bro]
• Dascalescu, Nastasescu, Raianu の本 [DNR01]
• Radford の本 [Rad12]
• Serre の [Ser93]
• Böhm の本 [Böh18]
• Baker の notes [Bak]

まず Hopf algebra の定義であるが, 現在では, bialgebra で antipode を持つものを, Hopf algebra と呼ぶのが普通である。 そして, bialgebra とは coalgebra の category の monoid object, あるいは algebra の category の comonoid object のことである。

• coalgebra
• bialgebra
• antipode

ここで, 「現在では」と断ったのは, Milnor-Moore の時代には, 特に, 代数的トポロジーの文献では, bialgebra が Hopf algebra と呼ばれることが多かったからである。 また, antipode のことも canonical anti-automorphism と呼ばれている。 Antipode が仮定されなかった理由の一つは, 次の graded bialgebra の性質である。

• 連結な graded bialgebra は, antipode を持ち, よって Hopf algebra になる。

Milnor と Moore の論文 [MM65] で証明されている定理の中で Milnor-Moore の名前を冠したものがある。Hopf algebra の module of primitives を取る操作と Lie algebra の universal enveloping algebra を取る操作の関係を表すものである。

• Milnor-Moore theorem

代数的トポロジーでの Hopf algebra の例としては Hopf space の (co)homology が基本的なものであるが, この事実は, 基点が非退化である弧状連結な Hopf space は, homotopy inverse を持つ, という Hopf space の性質と対応している。

代数的には, Hopf algebra の例として基本的なのは, 群環, そして 代数群や group schemeである。 つまり, 群の一般化としてのHopf algebra である。 群は集合の category の group object であるが, Hopf algebra は coalgebra の圏での group object なのである。

• \(k\) 上の Hopf algebra は \(k\) 上の coalgebra の category の group object である。
• \(k\) 上の Hopf algebra は \(k\) 上の algebra の category の cogroup object である。
• いわゆる Leray の定理。つまり標数 \(0\) の体上の可換な Hopf algebra \(A\) は \(Q(A)\) 上の free commutative algebra と同型である。 [MM65] ここで, \(Q(A)\) は indecomposable の成す module である。

この Leray の定理は, 様々な人が一般化を試みている。例えば [Sjö80; Blo85] などである。それらを統合するためには operad を用いるのがよい。つまり, ある operad 上の algebra の圏での cogroup object が free になるのはどういう場合か, という問題として扱う。その方向での一般化としては, [Fre98; Pat99] がある。

Hopf algebra の圏では epimorphism と全射が一致しないことを, Chirvasitu が [Chi10] で述べている。ただし, 積が可換な Hopf algebra の圏では epimorphism と全射は一致する。これは Takeuchi [Tak72] による可換な Hopf algebra がその sub-Hopf algebra 上 faithfully flat であるという結果によるようである。

(次数の付かない) 有限次元 Hopf algebra は, 量子群との関連などで調べられている。 Andruskiewitsch と Schneider が [AS10; AS07] で分類するためのプログラムを提案している。一般の Hopf algebra は難しいために pointed Hopf algebra, つまり simple comodule が\(1\)次元のものを調べることを提案している。

• coradical
• pointed Hopf algebra
• Nichols algebra
• Hopf algebraの分類

彼らは pointed Hopf algebra の coradical filtration による associated graded algebra から braided vector space を作り, それから生成される Nichols algebra を調べることを提案している。

有限次元 Hopf algebra に関しては, integral の概念が重要である。 例えば, Khovanov の Hopfological algebra の理論 で基本的な役割を果している。

• Hopf algebra の integral

References

[AS07]

Nicolás Andruskiewitsch and Hans-Jürgen Schneider. “Isomorphism classes and automorphisms of finite Hopf algebras of type \(A_n\)”. In: Proceedings of the XVIth Latin American Algebra Colloquium (Spanish). Bibl. Rev. Mat. Iberoamericana. Rev. Mat. Iberoamericana, Madrid, 2007, pp. 201–226. arXiv: math/0511283.

[AS10]

Nicolás Andruskiewitsch and Hans-Jürgen Schneider. “On the classification of finite-dimensional pointed Hopf algebras”. In: Ann. of Math. (2) 171.1 (2010), pp. 375–417. arXiv: math/0502157. url: http://dx.doi.org/10.4007/annals.2010.171.375.

[Bak]

Andrew Baker. Notes on Hopf algebras. url: http://www.maths.gla.ac.uk/~ajb/dvi-ps/HopfAlgebras.pdf.

[Blo85]

Richard E. Block. “Determination of the irreducible divided power Hopf algebras”. In: J. Algebra 96.1 (1985), pp. 307–317. url: http://dx.doi.org/10.1016/0021-8693(85)90051-1.

[Böh18]

Gabriella Böhm. Hopf algebras and their generalizations from a category theoretical point of view. Vol. 2226. Lecture Notes in Mathematics. Springer, Cham, 2018, pp. xi+163. isbn: 978-3-319-98136-9; 978-3-319-98137-6. url: https://doi.org/10.1007/978-3-319-98137-6.

[Bro]

Kenneth A. Brown. Hopf algebras. url: http://www.maths.gla.ac.uk/~kab/Hopf%20lects%201-8.pdf.

[Chi10]

Alexandru Chirvăsitu. “On epimorphisms and monomorphisms of Hopf algebras”. In: J. Algebra 323.5 (2010), pp. 1593–1606. arXiv: 0907.2881. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.jalgebra.2009.12.025.

[DNR01]

Sorin Dăscălescu, Constantin Năstăsescu, and Şerban Raianu. Hopf algebras. Vol. 235. Monographs and Textbooks in Pure and Applied Mathematics. An introduction. New York: Marcel Dekker Inc., 2001, pp. x+401. isbn: 0-8247-0481-9.

[Fre98]

Benoit Fresse. “Cogroups in algebras over an operad are free algebras”. In: Comment. Math. Helv. 73.4 (1998), pp. 637–676. url: http://dx.doi.org/10.1007/s000140050072.

[Man03]

Dominique Manchon. Hopf algebras, from basics to applications to renormalization. Comptes Rendus des Rencontres Mathematiques de Glanon 2001. 2003. arXiv: math/0408405.

[MM65]

John W. Milnor and John C. Moore. “On the structure of Hopf algebras”. In: Ann. of Math. (2) 81 (1965), pp. 211–264. url: http://dx.doi.org/10.2307/1970615.

[Mon93]

Susan Montgomery. Hopf algebras and their actions on rings. Vol. 82. CBMS Regional Conference Series in Mathematics. Published for the Conference Board of the Mathematical Sciences, Washington, DC, 1993, pp. xiv+238. isbn: 0-8218-0738-2.

[Pat99]

F. Patras. “A Leray theorem for the generalization to operads of Hopf algebras with divided powers”. In: J. Algebra 218.2 (1999), pp. 528–542. url: http://dx.doi.org/10.1006/jabr.1999.7891.

[Rad12]

David E. Radford. Hopf algebras. Vol. 49. Series on Knots and Everything. World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd., Hackensack, NJ, 2012, pp. xxii+559. isbn: 978-981-4335-99-7; 981-4335-99-1.

[Sch95]

Hans-Jürgen Schneider. Lectures on Hopf algebras. Vol. 31/95. Trabajos de Matemática [Mathematical Works]. Notes by Sonia Natale. Universidad Nacional de Córdoba, Facultad de Matemática, Astronomía y Física, Córdoba, 1995, p. 58.

[Ser93]

Jean-Pierre Serre. “Gèbres”. In: Enseign. Math. (2) 39.1-2 (1993), pp. 33–85.

[Sjö80]

Gunnar Sjödin. “Hopf algebras and derivations”. In: J. Algebra 64.1 (1980), pp. 218–229. url: http://dx.doi.org/10.1016/0021-8693(80)90143-X.

[Swe69]

Moss E. Sweedler. Hopf algebras. Mathematics Lecture Note Series. W. A. Benjamin, Inc., New York, 1969, pp. vii+336.

[Tak72]

Mitsuhiro Takeuchi. “A correspondence between Hopf ideals and sub-Hopf algebras”. In: Manuscripta Math. 7 (1972), pp. 251–270. url: https://doi.org/10.1007/BF01579722.

[阿部英17]

阿部英一. ホップ代数. オンデマンド版. 岩波書店, 2017, p. 240.