Pointed Hopf Algebra

Pointed Hopf algebra とは, 有限次代数での basic algebra の有限次 Hopf algebra での類似である。 Andruskiewitsch と Schneider の 解説 [AS02] がある。

Grañaと Heckenbergerと Vendramin [GHV] によると, pointed Hopf algebra の研究を本格的に始めたのは Nichols [Nic78] のようである。また Fang [Fan] によると, Nichols の結果は, Rosso が [Ros98] で注目するまで忘れ去られていたらしい。

• coradical filtration
• lifting method
• Nichols algebra

Andruskiewitsch と Schneider は, [AS10] で group-like element の成す群がAbel群でその位数の素因子が7より大きい pointed Hopf algebra の分類を完成させている。

コホモロジーについては, Mastnak らが [Mas+] で調べている。

Beneish と Chin [CB] が covering の概念を導入している。

References

[AS02]

Nicolás Andruskiewitsch and Hans-Jürgen Schneider. “Pointed Hopf algebras”. In: New directions in Hopf algebras. Vol. 43. Math. Sci. Res. Inst. Publ. Cambridge: Cambridge Univ. Press, 2002, pp. 1–68. arXiv: math/0110136.

[AS10]

Nicolás Andruskiewitsch and Hans-Jürgen Schneider. “On the classification of finite-dimensional pointed Hopf algebras”. In: Ann. of Math. (2) 171.1 (2010), pp. 375–417. arXiv: math/0502157. url: http://dx.doi.org/10.4007/annals.2010.171.375.

[CB]

William Chin and Esther Beneish. Coverings of graded pointed Hopf algebras. arXiv: 1401.8061.

[Fan]

Xin Fang. On defining ideals and differential algebras of Nichols algebras. arXiv: 1104.0973.

[GHV]

M. Graña, I. Heckenberger, and L. Vendramin. Nichols algebras of group type with many quadratic relations. arXiv: 1004.3723.

[Mas+]

M. Mastnak, J. Pevtsova, P. Schauenburg, and S. Witherspoon. Cohomology of finite dimensional pointed Hopf algebras. arXiv: 0902.0801.

[Nic78]

Warren D. Nichols. “Bialgebras of type one”. In: Comm. Algebra 6.15 (1978), pp. 1521–1552. url: https://doi.org/10.1080/00927877808822306.

[Ros98]

Marc Rosso. “Quantum groups and quantum shuffles”. In: Invent. Math. 133.2 (1998), pp. 399–416. url: http://dx.doi.org/10.1007/s002220050249.