Symplectic 多様体

Symplectic 多様体は, 古典力学を研究する場として自然に現われるものである。 定義は簡単であるが, 様々な理由から活発に研究されている。 大ざっぱに言えば, その奇数次元版が contact 多様体である。

• 偶数次元多様体上の symplectic form
• 奇数次元多様体上の contact form

基本的な概念として次を知っておくべきだろう。

• Hamiltonian vector field
• Lagrangian submanifold
• Poisson bracket と Poisson 多様体

Symplectic manifold への群作用も, 盛んに研究されている。

• symplectic 多様体への群作用

基本群については, symplectic quotient を取っても変わらないことが多いようである。Li の [Li] で調べられている。

基本群がAbel群になる aspherical な symplectic manifold については, Kedra と Rudyak と Tralle らの [Ibá+04; KRT] で調べられている。

Symplectic 多様体の間の “同型写像” としては symplectomorphism と呼ばれるものを考えるのが自然である。Symplectomorphism group の弧状連結成分を symplectic mapping class group と呼んだりする。

• symplectomorphism group

Symplectic 多様体の “量子化” を考えるのは自然な要請である。

• deformation quantization
• geometric quantization

そして量子化の際には, symplectomorphism だけではなく, 直積の Lagrangian submanifold を morphism と考える必要があるようである。このアイデアは, Weinstein が [Wei10] で提案したもので, つまり span を考えるということである。ただ, 合成については問題があり, 正確には category にはならない。それを category にするためのアイデアとして, Wehrheim と Woodward の構成 [WW10a; WW10b] がある。

• symplectic category

別のアイデアとして, morphism の集合を stable Lagrangian immersion の moduli space に拡張することを提案しているのは, Kitchloo [Kit] である。その moduli space は, 無限ループ空間, すなわち \(\Omega \) スペクトラムの構造を持つので, できた category は spectral category となる。 Kichloo は, それを stable symplectic category と呼んでいる。

• stable symplectic category

Kitchloo と Morava [KM] は, その stable symplectic category 上の fiber functor の automorphism group, つまり, ある種の Galois 群と Grothendieck-Teichmüller group が関係あると言っていて興味深い。

Symplectic manifold (とその中の二つの Lagrangean submanifold の組) に対しては, Floer homology が定義される。Floer homology にはさまざまな variation がある。

• Floer homology

Mirror symmetry と言えば Fukaya category である。

• Fukaya category

Entov と Polterovich の [EP06] によると, symplectic 多様体の intersection theory を考える際に, quasi-state や quasi-measure や quasi-morphism などの概念を用いるとよいらしい。Symplectic 多様体の intersection theory については, Biran の ICM 2002 での講演録 [Bir02] がある。

Cornea と Lalonde [CL] は, Lagrangian submanifold に対し, cluster homology というものを定義している。

Symplectic manifold への ball の埋め込みの成す空間のホモトピー型を調べている人もいる。 [LP04; AL] などである。

Symplectic structure の一般化も色々考えられている。

• symplectic structure の一般化

References

[AL]

Sylvia Anjos and Francois Lalonde. The homotopy type of the space of symplectic balls in \(S^2 \times S^2\) above the critical value. arXiv: math/0406129.

[Bir02]

P. Biran. “Geometry of symplectic intersections”. In: Proceedings of the International Congress of Mathematicians, Vol. II (Beijing, 2002). Beijing: Higher Ed. Press, 2002, pp. 241–255. arXiv: math/0304260.

[CL]

Octav Cornea and Francois Lalonde. Cluster Homology. arXiv: math/0508345.

[EP06]

Michael Entov and Leonid Polterovich. “Quasi-states and symplectic intersections”. In: Comment. Math. Helv. 81.1 (2006), pp. 75–99. arXiv: math/0410338. url: http://dx.doi.org/10.4171/CMH/43.

[Ibá+04]

R. Ibáñez, J. Kȩdra, Yu. Rudyak, and A. Tralle. “On fundamental groups of symplectically aspherical manifolds”. In: Math. Z. 248.4 (2004), pp. 805–826. url: http://dx.doi.org/10.1007/s00209-004-0682-8.

[Kit]

Nitu Kitchloo. The Stable Symplectic Category and Quantization. arXiv: 1204.5720.

[KM]

Nitu Kitchloo and Jack Morava. The Stable Symplectic category and a conjecture of Kontsevich. arXiv: 1212.6905.

[KRT]

J. Kedra, Yu. Rudyak, and A. Tralle. On fundamental groups of symplectically aspherical manifolds II: abelian groups. arXiv: math/0606400.

[Li]

Hui Li. The fundamental group of symplectic manifolds with Hamiltonian Lie group actions. arXiv: math/0605133.

[LP04]

François Lalonde and Martin Pinsonnault. “The topology of the space of symplectic balls in rational 4-manifolds”. In: Duke Math. J. 122.2 (2004), pp. 347–397. arXiv: math/0207096. url: https://doi.org/10.1215/S0012-7094-04-12223-7.

[Wei10]

Alan Weinstein. “Symplectic categories”. In: Port. Math. 67.2 (2010), pp. 261–278. arXiv: 0911.4133. url: http://dx.doi.org/10.4171/PM/1866.

[WW10a]

Katrin Wehrheim and Chris T. Woodward. “Functoriality for Lagrangian correspondences in Floer theory”. In: Quantum Topol. 1.2 (2010), pp. 129–170. arXiv: 0708.2851. url: http://dx.doi.org/10.4171/QT/4.

[WW10b]

Katrin Wehrheim and Chris T. Woodward. “Quilted Floer cohomology”. In: Geom. Topol. 14.2 (2010), pp. 833–902. arXiv: 0905.1370. url: http://dx.doi.org/10.2140/gt.2010.14.833.