Symplectic多様体への群作用

Symplectic 多様体への Lie 群の作用を考えるときに基本的な概念として, 以下のものがある。

• Hamiltonian group action
• moment map \[ \Phi : M \longrightarrow \mathfrak{g}^* \]

作用する群が torus のとき, moment map の像が凸多面体であるというのが, 有名な Atiyah [Ati82] と Guillemin と Sternberg [GS82] の定理である。Symplectic 多様体への torus の作用は, 数多くの人により盛んに研究されている。

• symplectic 多様体への torus の作用

Hamiltonian でない作用を考える時は, 普遍被覆空間を考えたり cylinder に値を持つ moment map を考えると良いらしい。Montaldi と Ortega の [MO] では, その2つの方法の関係が考察されている。Gottlieb group が用いられている。

Symplectic 多様体への Hamiltonian group action を考える際には, その商空間として moment map を用いて定義する symplectic quotient を考える。

• symplectic quotient

Harada と Landweber は symplectic quotient の \(K\)-theory ついて調べている。まず [HL] では symplectic quotient の \(K\)-theory について, Lie群 \(G\) で割ったのと \(G\) の maximal torus で割ったものの間の関係が Weyl群 を用いて述べられている。 これは特異コホモロジーについての, Martin の結果 [Mar] の類似である。また [HL08] で は, \(K_G(M)\) から \(K(M//G)\) への自然な写像の kernel を求めることにより, equivariant \(K\)-theory との関係を決定している。

References

[Ati82]

M. F. Atiyah. “Convexity and commuting Hamiltonians”. In: Bull. London Math. Soc. 14.1 (1982), pp. 1–15. url: http://dx.doi.org/10.1112/blms/14.1.1.

[GS82]

V. Guillemin and S. Sternberg. “Convexity properties of the moment mapping”. In: Invent. Math. 67.3 (1982), pp. 491–513. url: http://dx.doi.org/10.1007/BF01398933.

[HL]

Megumi Harada and Gregory D. Landweber. The \(K\)-theory of abelian versus nonabelian symplectic quotients. arXiv: math/0601294.

[HL08]

Megumi Harada and Gregory D. Landweber. “The \(K\)-theory of abelian symplectic quotients”. In: Math. Res. Lett. 15.1 (2008), pp. 57–72. arXiv: math/0612660.

[Mar]

Shaun Martin. Symplectic quotients by a nonabelian group and by its maximal torus. arXiv: math/0001002.

[MO]

James Montaldi and Juan-Pablo Ortega. Symplectic Group Actions and Covering Spaces. arXiv: 0705.3114.