埋め込みのなす空間

ある多様体の別の多様体への 埋め込みを isotopy で分類するということは, 埋め込みのなす空間の \(\pi _0\) を考えていることである。埋め込み全体を位相空間として考え, その性質を調べるための技術も確立されてきた。 \(1\)次元の多様体の\(3\)次元Euclid空間や\(3\)次元球面への埋め込みが knot や link であるが, それらの成す空間の弧状連結成分を考えるのが, いわゆる古典的な結び目の理論である。弧状連結成分だけでなく, そのホモトピー型を考えるのは自然な問題である。

• 結び目の空間

結び目の一般化として, グラフの埋め込みが考えられることから, グラフの埋め込みの成す空間も考えられている。例えば, Galatius の [Gal11] では, グラフの Euclid空間への埋め込みのなす空間が使われている。 Belotti, Lorario, and Newmann [BLN24] は, 与えられたグラフの Euclid 空間での実現の成す空間を考えている。

• グラフの埋め込みのなす空間

3次元多様体については, Heegaard splitting の成す空間も考えることができるが, これも, 曲面の3次元多様体への埋め込みの成す空間と考えることができる。 J. Johnson と McCullough [JM13] が調べている。

一般の埋め込みの成す空間についても, 様々な人が調べている。Skopenkov の [Sko] では, Browder の [Bro68], Goodwillie と Weiss の 関手の微積分による方法が挙げてある。 また, survey として, Repovsh と Skopenkov の [RS99] と Skopenkov の [Sko08] が挙げてある。

• embedding calculus
• little cube operad の作用 [Bud07; Bud08]

Budney の [Bud08] は, 球面の球面への埋め込みや, Euclid空間の Euclid空間への long embedding の成す空間についての現況を知る上で有用である。参考文献も豊富である。

Arone と Lambrecht と Volic は, [ALV07] で, embedding の空間から immersion の空間への自然な写像の homotopy fiber を調べている。

また, Boavida de Brito と Weissは, [BW18] でより正確な embedding の空間と immersion の空間の関係を得ている。 そこで使われているのは, configuration category という, 多様体の中の点配置を object とする “category” である。ここで quotation mark を付けたのは, 実際には \((\infty ,1)\)-category として定義されているからである。より正確には complete Segal spaceという simplicial spaceの一種であるが。

Connolly と Williams [CW78] は, finite complex の smooth manifold への embedding を考えている。もっとも, finite complex のままでは “smoothness” が定義できないので, (境界を持つ) codimension 0 の smooth submanifold への写像でホモトピー同値になっているものを考えるという手段を取っている。 Peter [Pet] は embedded thickening という一般化を考えている。

• smooth embedding up to homotopy
• (relative) embedded thickening の成す空間

References

[ALV07]

Gregory Arone, Pascal Lambrechts, and Ismar Volić. “Calculus of functors, operad formality, and rational homology of embedding spaces”. In: Acta Math. 199.2 (2007), pp. 153–198. arXiv: math/0607486. url: http://dx.doi.org/10.1007/s11511-007-0019-7.

[BLN24]

Mara Belotti, Antonio Lerario, and Andrew Newman. “Moduli spaces of geometric graphs”. In: Algebr. Geom. Topol. 24.4 (2024), pp. 2039–2090. arXiv: 2008.03984. url: https://doi.org/10.2140/agt.2024.24.2039.

[Bro68]

William Browder. “Embedding smooth manifolds”. In: Proc. Internat. Congr. Math. (Moscow, 1966). Izdat. “Mir”, Moscow, 1968, pp. 712–719.

[Bud07]

Ryan Budney. “Little cubes and long knots”. In: Topology 46.1 (2007), pp. 1–27. arXiv: math/0309427. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.top.2006.09.001.

[Bud08]

Ryan Budney. “A family of embedding spaces”. In: Groups, homotopy and configuration spaces. Vol. 13. Geom. Topol. Monogr. Geom. Topol. Publ., Coventry, 2008, pp. 41–83. arXiv: math/0605069. url: http://dx.doi.org/10.2140/gtm.2008.13.41.

[BW18]

Pedro Boavida de Brito and Michael Weiss. “Spaces of smooth embeddings and configuration categories”. In: J. Topol. 11.1 (2018), pp. 65–143. arXiv: 1502.01640. url: https://doi.org/10.1112/topo.12048.

[CW78]

Francis X. Connolly and Bruce Williams. “Embeddings up to homotopy type and geometric suspensions of manifolds”. In: Quart. J. Math. Oxford Ser. (2) 29.116 (1978), pp. 385–401. url: https://doi.org/10.1093/qmath/29.4.385.

[Gal11]

Søren Galatius. “Stable homology of automorphism groups of free groups”. In: Ann. of Math. (2) 173.2 (2011), pp. 705–768. arXiv: math/0610216. url: http://dx.doi.org/10.4007/annals.2011.173.2.3.

[JM13]

Jesse Johnson and Darryl McCullough. “The space of Heegaard splittings”. In: J. Reine Angew. Math. 679 (2013), pp. 155–179. arXiv: 1011.0702. url: https://doi.org/10.1515/crelle.2012.016.

[Pet]

John W. Peter. On the stabilization of embedded thickenings. arXiv: 1204.2781.

[RS99]

D. Repovsh and A. Skopenkov. “New results on embeddings of polyhedra and manifolds into Euclidean spaces”. In: Uspekhi Mat. Nauk 54.6(330) (1999), pp. 61–108. url: http://dx.doi.org/10.1070/rm1999v054n06ABEH000230.

[Sko]

A. Skopenkov. Classification of embeddings below the metastable dimension. arXiv: math/0607422.

[Sko08]

Arkadiy Skopenkov. “A classification of smooth embeddings of 3-manifolds in 6-space”. In: Math. Z. 260.3 (2008), pp. 647–672. arXiv: math/0603429. url: https://doi.org/10.1007/s00209-007-0294-1.