関手の微積分の応用と例

Goodwillie の関手の微積分の手法やアイデアは, 様々な形に発展している。元の Goodwillie のものを homotopy calculus ということにすると, その類似の理論としては, Weiss の orthogonal calculus と Goodwillie と Weiss の manifold calculus が代表的なものだろう。

• homotopy calculus
• orthogonal calculus [Wei95]
• manifold calculus [Wei99; GW99]
• Malkiewich [Mal] による contravariant version
• Dotto [Dota; Dotb] による equivariant version
• Johnson と McCarthy [JM04] による Abelian calculus

Manifold calculus は, 埋め込みの空間を調べるのに使われるので, その場合 embedding calculus と呼ばれているようである。ここでは Munson の解説 [Mun] に従って, manifold calculus と呼んだ。Boadiva de Brito と Weiss [BW] は, 位相空間の圏で enrich された version を提案すると同時に, homotopy sheaf を用いた定式化を行なっている。

Steffen Tillmann [Til] は, manifold calculus の simplicial complex への一般化を提案している。

これらの応用として例えば以下のものがある。

• Waldhausen の algebraic \(K\)-theory of spaces \(A(X)\) [Goo90; Goo92; Bök+96; Goo03]
• Arone による orthogonal calculus の解析 [Aro98]
• Arone と Kankaanrinta による stable splitting への応用 [AK98; Aro99]
• Stiefel manifold の loop 空間の stable splitting [Aro01]
• Arone と Mahowald の仕事 [AM99]
• Munson と Volic [MV12] によるその多変数化とその link の空間への応用 [MV]
• Munson による埋め込みへの応用 [Mun05]
• Munsion [Mun08; Mun11] や Goodwillie と Munson [GM10] による link map の研究
• Walter の 有理ホモトピー論における calculus [Wal]
• Macko による射影空間の block structure space [Mac07; MW09]
• Biedermann と Dwyer による simplicial loop group の lower central series の研究 [BD10]
• Behrens による EHP spectral sequence との関係の研究 [Beh12]
• Malkiewich [Mal] による string topology に現われる構成への応用

Biedermann と Dwyer は, homotopy \(n\)-nilpotent group という, 無限ループ空間とループ空間の中間に位置する概念を定義し, \(n\)-excisive functor の loop が homotopy \(n\)-nilpotent group に値を持つことを示している。また, identity functor の Goodwillie tower の loop の simplicial algebraic theory を用いた記述を得ている。

古典的なホモトピー論における nilpotency との関係を調べているのは, Chorny と Scherer [SC] である。 LS category や LS cocategory との関係については, Eldred [Eld16] により調べられている。 Costoya と Scherer と Viruel [CSV] は, 無限ループ空間 を fiber とする principal fibration を用いて “extension by principal fibrations length ”という不変量を定義し, homotopy nilpotency との関係を調べている。

Goodwillie と Weiss の Taylor tower を long knot の空間に応用し, Bott-Taubes の configuration space integral [BT94] をその tower に拡張したのは, Volic の [Volb] である。Volic は, long knotの空間 を “calculus of embedding” を用いて調べることについて, [Vola] というまとめを書いている。未解決問題や予想なども書いてある。

Goodwillie-Weiss の embedding calculus を, 多様体の一般化に拡張しようという試みもある。 例えば, Poincaré duality space に対しては, Klein の [Kle] がある。

多重ループ空間のホモロジーに応用することを考えているのは, Kuhn [Kuh08; KM13] である。\(\Sigma ^{\infty }\Omega ^n\) や \(\Sigma ^{\infty }\Omega ^{\infty }\) の Goodwillie tower から得らえる spectral sequence を構成し, それを用いて調べようとしている。

Kuhn は [Kuh] で球面の対称積の安定ホモトピー群に関する Whitehead 予想と Arone と Mahowald [AM99] の結果を結びつけることに成功し, それにより Whitehead 予想の別証を得ている。Whitehead 予想は, 80年代に Kuhn [Kuh82] (\(p=2\)) と Kuhn と Priddy [KP85] (odd prime) により証明されたものである。

Goodwillie の結果により, 位相空間の category から位相空間の category への linear functor と generalized homology theory あるいは spectrum は, ほとんど同じものになる。よって一般の model category や \(\infty \)-category での spectrum object を linear functor として定義することもできる。 例えば Lurie の [Lur] の Definition 1.4.2.8 など。 Shimakawa, Yoshida, Haraguchi [SYH18] は, “enriched linear functor”の category を stable homotopy category のモデルとして提案している。

References

[AK98]

Greg Arone and Marja Kankaanrinta. “A functorial model for iterated Snaith splitting with applications to calculus of functors”. In: Stable and unstable homotopy (Toronto, ON, 1996). Vol. 19. Fields Inst. Commun. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 1998, pp. 1–30.

[AM99]

Greg Arone and Mark Mahowald. “The Goodwillie tower of the identity functor and the unstable periodic homotopy of spheres”. In: Invent. Math. 135.3 (1999), pp. 743–788. url: http://dx.doi.org/10.1007/s002220050300.

[Aro01]

Greg Arone. “The Mitchell-Richter filtration of loops on Stiefel manifolds stably splits”. In: Proc. Amer. Math. Soc. 129.4 (2001), 1207–1211 (electronic). url: http://dx.doi.org/10.1090/S0002-9939-00-05794-4.

[Aro98]

Greg Arone. “Iterates of the suspension map and Mitchell’s finite spectra with \(A_k\)-free cohomology”. In: Math. Res. Lett. 5.4 (1998), pp. 485–496.

[Aro99]

Greg Arone. “A generalization of Snaith-type filtration”. In: Trans. Amer. Math. Soc. 351.3 (1999), pp. 1123–1150. url: http://dx.doi.org/10.1090/S0002-9947-99-02405-8.

[BD10]

Georg Biedermann and William G. Dwyer. “Homotopy nilpotent groups”. In: Algebr. Geom. Topol. 10.1 (2010), pp. 33–61. arXiv: 0709.3925. url: http://dx.doi.org/10.2140/agt.2010.10.33.

[Beh12]

Mark Behrens. “The Goodwillie tower and the EHP sequence”. In: Mem. Amer. Math. Soc. 218.1026 (2012), pp. xii+90. arXiv: 1009.1125.

[Bök+96]

M. Bökstedt et al. “On the algebraic \(K\)-theory of simply connected spaces”. In: Duke Math. J. 84.3 (1996), pp. 541–563. url: http://dx.doi.org/10.1215/S0012-7094-96-08417-3.

[BT94]

Raoul Bott and Clifford Taubes. “On the self-linking of knots”. In: J. Math. Phys. 35.10 (1994). Topology and physics, pp. 5247–5287. url: http://dx.doi.org/10.1063/1.530750.

[BW]

Pedro Boavida de Brito and Michael S. Weiss. Manifold calculus and homotopy sheaves. arXiv: 1202.1305.

[CSV]

Cristina Costoya, Jérôme Scherer, and Antonio Viruel. A Torus Theorem for homotopy nilpotent groups. arXiv: 1504.06100.

[Dota]

Emanuele Dotto. Equivariant calculus of functors and \(\Z /2\)-analyticity of real \(K\)-theory. arXiv: 1305.6217.

[Dotb]

Emanuele Dotto. Higher Equivariant Excision. arXiv: 1507.01909.

[Eld16]

Rosona Eldred. “Goodwillie calculus via adjunction and LS cocategory”. In: Homology Homotopy Appl. 18.2 (2016), pp. 31–58. arXiv: 1209.2384. url: https://doi.org/10.4310/HHA.2016.v18.n2.a2.

[GM10]

Thomas G. Goodwillie and Brian A. Munson. “A stable range description of the space of link maps”. In: Algebr. Geom. Topol. 10.3 (2010), pp. 1305–1315. arXiv: 0910.3561. url: http://dx.doi.org/10.2140/agt.2010.10.1305.

[Goo03]

Thomas G. Goodwillie. “Calculus. III. Taylor series”. In: Geom. Topol. 7 (2003), 645–711 (electronic). url: http://dx.doi.org/10.2140/gt.2003.7.645.

[Goo90]

Thomas G. Goodwillie. “Calculus. I. The first derivative of pseudoisotopy theory”. In: \(K\)-Theory 4.1 (1990), pp. 1–27. url: http://dx.doi.org/10.1007/BF00534191.

[Goo92]

Thomas G. Goodwillie. “Calculus. II. Analytic functors”. In: \(K\)-Theory 5.4 (1991/92), pp. 295–332. url: http://dx.doi.org/10.1007/BF00535644.

[GW99]

Thomas G. Goodwillie and Michael Weiss. “Embeddings from the point of view of immersion theory. II”. In: Geom. Topol. 3 (1999), 103–118 (electronic). url: http://dx.doi.org/10.2140/gt.1999.3.103.

[JM04]

B. Johnson and R. McCarthy. “Deriving calculus with cotriples”. In: Trans. Amer. Math. Soc. 356.2 (2004), 757–803 (electronic). url: http://dx.doi.org/10.1090/S0002-9947-03-03318-X.

[Kle]

John R. Klein. Embeddings, Normal Invariants and Functor Calculus. arXiv: 1408.6469.

[KM13]

Nicholas Kuhn and Jason McCarty. “The mod 2 homology of infinite loopspaces”. In: Algebr. Geom. Topol. 13.2 (2013), pp. 687–745. arXiv: 1109.3694. url: https://doi.org/10.2140/agt.2013.13.687.

[KP85]

Nicholas J. Kuhn and Stewart B. Priddy. “The transfer and Whitehead’s conjecture”. In: Math. Proc. Cambridge Philos. Soc. 98.3 (1985), pp. 459–480. url: http://dx.doi.org/10.1017/S0305004100063672.

[Kuh]

Nicholas J. Kuhn. The Whitehead Conjecture, the Tower of \(S^1\) Conjecture, and Hecke algebras of type A. arXiv: 1308.4441.

[Kuh08]

Nicholas Kuhn. “Topological nonrealization results via the Goodwillie tower approach to iterated loopspace homology”. In: Algebr. Geom. Topol. 8.4 (2008), pp. 2109–2129. arXiv: 0806.3281. url: http://dx.doi.org/10.2140/agt.2008.8.2109.

[Kuh82]

Nicholas J. Kuhn. “A Kahn-Priddy sequence and a conjecture of G. W. Whitehead”. In: Math. Proc. Cambridge Philos. Soc. 92.3 (1982), pp. 467–483. url: https://doi.org/10.1017/S0305004100060175.

[Lur]

Jacob Lurie. Higher Algebra. url: https://www.math.ias.edu/~lurie/papers/HA.pdf.

[Mac07]

Tibor Macko. “The block structure spaces of real projective spaces and orthogonal calculus of functors”. In: Trans. Amer. Math. Soc. 359.1 (2007), 349–383 (electronic). arXiv: math/0404198. url: http://dx.doi.org/10.1090/S0002-9947-06-04180-8.

[Mal]

Cary Malkiewich. A tower connecting gauge groups to string topology. arXiv: 1209.1778.

[Mun]

Brian A. Munson. Introduction to the manifold calculus of Goodwillie-Weiss. arXiv: 1005.1698.

[Mun05]

Brian A. Munson. “Embeddings in the \(3/4\) range”. In: Topology 44.6 (2005), pp. 1133–1157. arXiv: math/0311423. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.top.2005.04.007.

[Mun08]

Brian A. Munson. “A manifold calculus approach to link maps and the linking number”. In: Algebr. Geom. Topol. 8.4 (2008), pp. 2323–2353. arXiv: math/0702163. url: http://dx.doi.org/10.2140/agt.2008.8.2323.

[Mun11]

Brian A. Munson. “Derivatives of the identity and generalizations of Milnor’s invariants”. In: J. Topol. 4.2 (2011), pp. 383–405. arXiv: 0909.3074. url: http://dx.doi.org/10.1112/jtopol/jtr005.

[MV]

Brian A. Munson and Ismar Volic. Cosimplicial models for spaces of links. arXiv: 0906.2589.

[MV12]

Brian A. Munson and Ismar Volić. “Multivariable manifold calculus of functors”. In: Forum Math. 24.5 (2012), pp. 1023–1066. arXiv: 0904.4185. url: https://doi.org/10.1515/form.2011.095.

[MW09]

Tibor Macko and Michael Weiss. “The block structure spaces of real projective spaces and orthogonal calculus of functors. II”. In: Forum Math. 21.6 (2009), pp. 1091–1136. arXiv: math/0703303. url: http://dx.doi.org/10.1515/FORUM.2009.055.

[SC]

Jerome Scherer and Boris Chorny. Goodwillie calculus and Whitehead products. arXiv: 1109.2691.

[SYH18]

Kazuhisa Shimakawa, Kohei Yoshida, and Tadayuki Haraguchi. “Homology and cohomology via enriched bifunctors”. In: Kyushu J. Math. 72.2 (2018), pp. 239–252. arXiv: 1010.3336. url: https://doi.org/10.2206/kyushujm.72.239.

[Til]

Steffen Tillmann. Manifold calculus adapted for simplicial complexes. arXiv: 1702.05608.

[Vola]

Ismar Volic. Calculus of the embedding functor and spaces of knots. arXiv: math/0601268.

[Volb]

Ismar Volic. Configuration space integrals and Taylor towers for spaces of knots. arXiv: math/0401282.

[Wal]

Ben Walter. Rational Homotopy Calculus of Functors. arXiv: math/0603336.

[Wei95]

Michael Weiss. “Orthogonal calculus”. In: Trans. Amer. Math. Soc. 347.10 (1995), pp. 3743–3796. url: http://dx.doi.org/10.2307/2155204.

[Wei99]

Michael Weiss. “Embeddings from the point of view of immersion theory. I”. In: Geom. Topol. 3 (1999), 67–101 (electronic). url: http://dx.doi.org/10.2140/gt.1999.3.67.