Lusternik-Schnirelmann Category

Lusternik-Schnirelmann カテゴリーは, 非常に素朴に定義されたホモトピー不変量である。その定義として以下のものがある。

• open covering による定義
• fat wedge による定義
• Ganea の fiber-cofiber sequence による定義
• mapping cone による inductive な定義

また, 近似するものとして以下の不変量がある:

• strong category

元々, 多様体上の関数の critical point の数を数える, という幾何学的な motivation があった。今でも, symplectic 多様体の chart の最小数を調べた Rudyak と Schlenk の [RS07] のように, 幾何学的な応用を考えている人はいる。また Katz と Rudyak [KR06] の systolic category は, 測地線, よって Riemann 計量により定義される不変量であり, 「どんどんホモトピー論的になりつつある Lusternik-Schnierelmann category と関連した不変量の研究に Riemann 幾何の香りを付ける」ものだと言っている。

• systolic category [KR06; DKR11]
• stable systolic category [DR09]

Lusternik-Schnierelmann カテゴリーの一般化として, Farber が [Far02] で実\(1\)次元コホモロジー類 \(\xi \in H^1(X;\R )\) に依存した \(\mathrm {cat}(X;\xi )\) という不変量を考えている。 この不変量については, Farber 自身が [Far04; FS07; FS08] などで調べている。

Karoubi と Weibel [KW16] は, covering type という不変量を導入した。可縮な部分空間による coveringを用いている点で Lusternik-Schnierelmann category と似ているが, 共通部分も可縮という条件を要求している点が異なっている。

• covering type

Govc, Marzantowicz, Pavšić の [GMP20] で Lusternik-Schnierelmann category などとの比較が行なわれている。

Borghini と Minian は, [BM19] の Lemma 2.1として, finite CW complex (の homotopy type を持つ空間) の場合は, その空間とホモトピー同値な有限単体的複体で頂点数が最小のものの頂点の数と一致していることを示している。

Govc は, [Gov21] で, unimodal category という「高さ関数」に対する不変量を調べている。これは, Baryshnikov と Ghrist により [BG11] で定義されたものである。 これは, 2011年に神戸で開催された国際会議 NOLTA (NOnLinear Theory and its Applications) の proceedings に収録されている論文である。

• unimodal category

Govc の論文では, 他に unimodal category について調べたものとして, ここから download できる, Hickok と Villatoro と Wang の preprint が挙げられている。

Lie groupoid に対しては, Colman が [Col10] で定義を提案している。また differentiable stack への拡張を Alsulami と Neumann との共著 [ACN17] で提案している。

一般のモデル圏でも, 定義することはできる。 その試みとして [Doe93; HL94; Kah03; GG08] などがある。

また, graph での類似もある。Josellis と Knill の [JK] など。

Morse 理論の離散版があるので, Lusternik-Schnirelmann category の離散版も考えたくなるが, そのような試みとして, 既に [AS13; FMV15; Fer+19; SS17; Fer+20] がある。

• simplicial Lusternik-Schnirelmann category

双対的な概念として cocategory がある。

• cocategory

Ganea の [Gan60], Hopkins の [Hop84], Hovey の [Hov93] などの文献がある。Theriault が [The18] で polyhedral product の双対概念を導入し cocategory との関係を調べている。

その他, 関連した話題として以下のような不変量がある。

• Schwarz genus
• topological complexity とその変種
• amenable category [GGH13]
• 群の free action を持つ空間に対する free genus [KV11]
• 連続写像の homotopic distance [MM22] やその functor に対する類似 [MM20; CMM]
• small category の Lusternik-Schnirelmann category [Tan18]

References

[ACN17]

Samirah Alsulami, Hellen Colman, and Frank Neumann. “The Lusternik-Schnirelmann category for a differentiable stack”. In: Mathematics across contemporary sciences. Vol. 190. Springer Proc. Math. Stat. Springer, Cham, 2017, pp. 1–15. arXiv: 1512.00131. url: https://doi.org/10.1007/978-3-319-46310-0_1.

[AS13]

Seth Aaronson and Nicholas A. Scoville. “Lusternik-Schnirelmann category for simplicial complexes”. In: Illinois J. Math. 57.3 (2013), pp. 743–753. url: http://projecteuclid.org/euclid.ijm/1415023508.

[BG11]

Yuliy Baryshnikov and Robert Ghrist. “Unimodal Category and Topological Statistics”. In: Proceedings of NOLTA 2011. 2011 International Symposium on Nonlinear Theory and its Applications. 2011, pp. 196–199.

[BM19]

Eugenio Borghini and Elı́as Gabriel Minian. “The covering type of closed surfaces and minimal triangulations”. In: J. Combin. Theory Ser. A 166 (2019), pp. 1–10. arXiv: 1712.02833. url: https://doi.org/10.1016/j.jcta.2019.02.005.

[CMM]

I. Carcacı́a-Campos, E. Macı́as-Virgós, and D. Mosquera-Lois. Homotopy invariants in small categories. arXiv: 2206.00651.

[Col10]

Hellen Colman. “The Lusternik-Schnirelmann category of a Lie groupoid”. In: Trans. Amer. Math. Soc. 362.10 (2010), pp. 5529–5567. arXiv: 0908.3325. url: http://dx.doi.org/10.1090/S0002-9947-2010-05168-2.

[DKR11]

Alexander N. Dranishnikov, Mikhail G. Katz, and Yuli B. Rudyak. “Cohomological dimension, self-linking, and systolic geometry”. In: Israel J. Math. 184 (2011), pp. 437–453. arXiv: 0807.5040. url: https://doi.org/10.1007/s11856-011-0075-8.

[Doe93]

Jean-Paul Doeraene. “L.S.-category in a model category”. In: J. Pure Appl. Algebra 84.3 (1993), pp. 215–261. url: http://dx.doi.org/10.1016/0022-4049(93)90001-A.

[DR09]

Alexander N. Dranishnikov and Yuli B. Rudyak. “Stable systolic category of manifolds and the cup-length”. In: J. Fixed Point Theory Appl. 6.1 (2009), pp. 165–177. arXiv: 0812.4637. url: http://dx.doi.org/10.1007/s11784-009-0118-5.

[Far02]

Michael Farber. “Zeros of closed 1-forms, homoclinic orbits and Lusternik-Schnirelman theory”. In: Topol. Methods Nonlinear Anal. 19.1 (2002), pp. 123–152. arXiv: math/0106046.

[Far04]

Michael Farber. Topology of closed one-forms. Vol. 108. Mathematical Surveys and Monographs. Providence, RI: American Mathematical Society, 2004, pp. xii+246. isbn: 0-8218-3531-9.

[Fer+19]

Desamparados Fernández-Ternero, Enrique Macı́as-Virgós, Erica Minuz, and José Antonio Vilches. “Simplicial Lusternik-Schnirelmann category”. In: Publ. Mat. 63.1 (2019), pp. 265–293. arXiv: 1605.01322. url: https://doi.org/10.5565/PUBLMAT6311909.

[Fer+20]

Desamparados Fernández-Ternero, Enrique Macı́as-Virgós, Nicholas A. Scoville, and José Antonio Vilches. “Strong discrete Morse theory and simplicial L-S category: a discrete version of the Lusternik-Schnirelmann theorem”. In: Discrete Comput. Geom. 63.3 (2020), pp. 607–623. arXiv: 1612.08840. url: https://doi.org/10.1007/s00454-019-00116-8.

[FMV15]

D. Fernández-Ternero, E. Macı́as-Virgós, and J. A. Vilches. “Lusternik-Schnirelmann category of simplicial complexes and finite spaces”. In: Topology Appl. 194 (2015), pp. 37–50. arXiv: 1501. 07540. url: https://doi.org/10.1016/j.topol.2015.08.001.

[FS07]

Michael Farber and Dirk Schütz. “Cohomological estimates for \(\mathrm {cat}(X,\xi )\)”. In: Geom. Topol. 11 (2007), pp. 1255–1288. arXiv: math/0609005. url: http://dx.doi.org/10.2140/gt.2007.11.1255.

[FS08]

M. Farber and D. Schütz. “Homological category weights and estimates for \(\mathrm {cat}^1(X,\xi )\)”. In: J. Eur. Math. Soc. (JEMS) 10.1 (2008), pp. 243–266. arXiv: math/0609141. url: http://dx.doi.org/10.4171/JEMS/110.

[Gan60]

Tudor Ganea. “Lusternik-Schnirelmann category and cocategory”. In: Proc. London Math. Soc. (3) 10 (1960), pp. 623–639.

[GG08]

J. M. Garcı́a-Calcines and P. R. Garcı́a-Dı́az. “An inductive Lusternik-Schnirelmann category in a model category”. In: J. Pure Appl. Algebra 212.1 (2008), pp. 147–156. arXiv: math/0612619. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.jpaa.2007.05.005.

[GGH13]

José Carlos Gómez-Larrañaga, Francisco González-Acuña, and Wolfgang Heil. “Amenable category of three-manifolds”. In: Algebr. Geom. Topol. 13.2 (2013), pp. 905–925. url: https://doi.org/10.2140/agt.2013.13.905.

[GMP20]

Dejan Govc, Wacław Marzantowicz, and Petar Pavešić. “Estimates of covering type and the number of vertices of minimal triangulations”. In: Discrete Comput. Geom. 63.1 (2020), pp. 31–48. arXiv: 1710.03333. url: https://doi.org/10.1007/s00454-019-00092-z.

[Gov21]

Dejan Govc. “Unimodal category and the monotonicity conjecture”. In: J. Appl. Comput. Topol. 5.4 (2021), pp. 621–669. arXiv: 1709. 06547. url: https://doi.org/10.1007/s41468-021-00077-z.

[HL94]

Kathryn P. Hess and Jean-Michel Lemaire. “Generalizing a definition of Lusternik and Schnirelmann to model categories”. In: J. Pure Appl. Algebra 91.1-3 (1994), pp. 165–182. url: http://dx.doi.org/10.1016/0022-4049(94)90140-6.

[Hop84]

M. J. Hopkins. “Formulations of cocategory and the iterated suspension”. In: Algebraic homotopy and local algebra (Luminy, 1982). Vol. 113. Astérisque. Soc. Math. France, Paris, 1984, pp. 212–226.

[Hov93]

Mark Hovey. “Lusternik-Schnirelmann cocategory”. In: Illinois J. Math. 37.2 (1993), pp. 224–239. url: http://projecteuclid.org/euclid.ijm/1255987145.

[JK]

Frank Josellis and Oliver Knill. The Lusternik-Schnirelmann theorem for graphs. arXiv: 1211.0750.

[Kah03]

Thomas Kahl. “On the algebraic approximation of Lusternik-Schnirelmann category”. In: J. Pure Appl. Algebra 181.2-3 (2003), pp. 227–277. url: http://dx.doi.org/10.1016/S0022-4049(02)00306-7.

[KR06]

Mikhail G. Katz and Yuli B. Rudyak. “Lusternik-Schnirelmann category and systolic category of low-dimensional manifolds”. In: Comm. Pure Appl. Math. 59.10 (2006), pp. 1433–1456. arXiv: math/ 0410456. url: https://doi.org/10.1002/cpa.20146.

[KV11]

R. N. Karasev and A. Yu. Volovikov. “Configuration-like spaces and coincidences of maps on orbits”. In: Algebr. Geom. Topol. 11.2 (2011), pp. 1033–1052. arXiv: 0911 . 4338. url: https://doi.org/10.2140/agt.2011.11.1033.

[KW16]

Max Karoubi and Charles Weibel. “On the covering type of a space”. In: Enseign. Math. 62.3-4 (2016), pp. 457–474. arXiv: 1612.00532. url: https://doi.org/10.4171/LEM/62-3/4-4.

[MM20]

E. Macı́as-Virgós and D. Mosquera-Lois. “Homotopic distance between functors”. In: J. Homotopy Relat. Struct. 15.3-4 (2020), pp. 537–555. arXiv: 1902. 06322. url: https://doi.org/10.1007/s40062-020-00269-x.

[MM22]

E. Macı́as-Virgós and D. Mosquera-Lois. “Homotopic distance between maps”. In: Math. Proc. Cambridge Philos. Soc. 172.1 (2022), pp. 73–93. arXiv: 1810.12591. url: https://doi.org/10.1017/S0305004121000116.

[RS07]

Yu. B. Rudyak and Felix Schlenk. “Minimal atlases of closed symplectic manifolds”. In: Commun. Contemp. Math. 9.6 (2007), pp. 811–855. arXiv: math/ 0605350. url: http://dx.doi.org/10.1142/S0219199707002654.

[SS17]

Nicholas A. Scoville and Willie Swei. “On the Lusternik-Schnirelmann category of a simplicial map”. In: Topology Appl. 216 (2017), pp. 116–128. arXiv: 1606.01205. url: https://doi.org/10.1016/j.topol.2016.11.015.

[Tan18]

Kohei Tanaka. “Lusternik-Schnirelmann category for categories and classifying spaces”. In: Topology Appl. 239 (2018), pp. 65–80. url: https://doi.org/10.1016/j.topol.2018.02.031.

[The18]

Stephen Theriault. “The dual polyhedral product, cocategory and nilpotence”. In: Adv. Math. 340 (2018), pp. 138–192. arXiv: 1506. 05998. url: https://doi.org/10.1016/j.aim.2018.09.037.