多様体のminimal triangulationの問題

単体分割可能な多様体に対しては, それを実現する単体的複体の中で, 最も単体 (頂点) の数が少ないものは何か, という問題が考えられる。 Survey としては, Lutz の [Lut] や彼の thesis [Lut99], Datta の [Dat07] などがある。頂点以外の面については Klee と Novik の survey [KN16] がある。

また, 頂点や面の数を指定して, 単体分割がいくつあるかを数えるという問題もある。

Lutz は, 多様体の triangulation についての web site を公開しているので, まずはこの web site を見るのが良いかもしれない。Lutz の thesis なども “Additional Publications” のページから download できる。

頂点の数が \(N\) で次元が \(d\) としたときに, \(N<3\lceil \frac {d}{2}\rceil +3\) なら球面しかないことを示したのは Brehm と Kühnel [BK87] である。また \(N=3\lceil \frac {d}{2}\rceil +3\) なら, 球面か \(d=2,4,8,16\) であることも示している。 この例外的な数字は, normed divsion algebra \(\R \), \(\bbC \), \(\Ha \), \(\mathbb {O}\) 上の projective plane の次元である。そして \(\RP ^2\) と \(\CP ^2\) の場合には, 実際に6頂点, 9頂点の単体分割がある。

• \(\RP ^2\) の6頂点の単体分割と \(\CP ^2\) の9頂点の単体分割 (Banchoff と Kühnel の [KB83])

四元数の場合, \(\mathbb {H}\mathrm {P}^2\) とPL同相になりそうな 15 頂点の単体的複体を Brehm と Kühnel [BK92] が構成している。実際に PL同相になれば, それが\(\mathbb {H}\mathrm {P}^2\) の最小の単体分割であるが, Gorodkov [Gor19] がその証明に成功したと言っている。 そこで使われているのは, Pontrjagin数の計算であり, Gaiffulin の algorithm [Gaı̆04] である。

Chapoton と Manivel の [CM13] によると, 八元数上の projective plane の場合は, 候補すらないようである。

高次元の射影空間についても, 当然様々な人により調べられている。 有名なのは次の結果である。

• \(\RP ^n\) の単体分割は \(\frac {(n+1)(n+2)}{2}\) 個以上の頂点が必要 であり, \(n> 2\) なら \(\frac {(n+1)(n+2)}{2}+1\)個以上必要 (Arnoux と Marin [AM91])
• \(\CP ^n\) の単体分割は \((n+1)^2\)個以上の頂点が必要であり, \(n>2\) なら \((n+1)^2+1\) 個以上必要 (同じく Arnoux と Marin [AM91])

一方, 上からの評価としては, 次のものがある。

• \(\RP ^3\) の11頂点の単体分割 (Walkup の [Wal70])
• \(\RP ^4\) の16頂点の単体分割 (Balagopalan の [Bal17])
• \(\RP ^5\) の24頂点の単体分割 (Lutz のページ)
• Adiprasito, Avvakumov, Karasev [AAK22] による \(\RP ^{n}\) の \(e^{(\frac {1}{2}+o(1))\sqrt {n}\log n}\) 頂点の単体分割

よって, \(\RP ^3\) と \(\RP ^4\) の場合は, vertex minimal triangulation が見つかっていることになる。\(\RP ^5\) の場合, 22頂点のものがあるかどうかは, まだ分っていないようである。

\(\RP ^4\) の16頂点, すなわち最小頂点数の単体分割は, Lutz のページで計算機による結果が公表されていたが, 具体的な構成を Balagopalan [Bal17] が発見した。

\(\CP ^n\) の場合は一層難しい。\(\CP ^2\) の Banchoff と Kühnelの vertex minimal triangulation 以外に Sarkar の [Sar] に書かれているのは以下の結果である。

• \(\CP ^3\) の18頂点の単体分割 (Baguchi と Datta の [BD12])

曲面の場合は, Ziegler の [Zie08] がある。 \(3\)次元多様体の場合, 例えば [Lut08] で頂点が\(10\)個の \(3\) 次元多様体の分類が行なわれている。 \(S^1\)上の\(S^k\)-bundleの単体分割を考えている人もいる。 Chestnut と Sapir と Swartz の [CSS08] である。 Minimal balanced triangulation については, Zheng [Zhe16] が考えている。 前者の Introduction は, 多様体の単体分割の問題の現状を知るのに良い。

Björner と Lutz [BL00]は, 計算機により vertex minimal triangulation を見つける, と言うことを考えている。

KP hierarchy と曲面の単体分割との関係について, Goulden と Jackson の [GJ08] の最後に書いてある。

与えられた空間とホモトピー同値な単体的複体で頂点の数が最小なもの, という問題も考えられている。 Borghini と Minian [BM19] によると, これは Karoubi と Weibel [KW16] が導入した, covering type という不変量に一致している。

多様体の間の写像を, できるだけ頂点の数の少ない単体的複体の間の単体的写像として表すことも考えられている。 Madaharと Sarkaria の [MS00]では, Hopf map \(\eta :S^3\to S^2\) を表す写像が, 12頂点の \(S^3\) から \(4\)頂点の \(S^2\) への写像として構成されている。 その応用として, 9頂点の\(\CP ^2\) の単体分割が得られている。 また, Gohla [Goh]は, \(\eta \) を object 10個の acyclic category から objet 4個の acyclic categoryへの functor として実現している。

References

[AAK22]

Karim Adiprasito, Sergey Avvakumov, and Roman Karasev. “A subexponential size triangulation of \({\R }P^n\)”. In: Combinatorica 42.1 (2022), pp. 1–8. arXiv: 2009.02703. url: https://doi.org/10.1007/s00493-021-4602-x.

[AM91]

Pierre Arnoux and Alexis Marin. “The Kühnel triangulation of the complex projective plane from the view point of complex crystallography. II”. In: Mem. Fac. Sci. Kyushu Univ. Ser. A 45.2 (1991), pp. 167–244. url: http://dx.doi.org/10.2206/kyushumfs.45.167.

[Bal17]

Sonia Balagopalan. “On a vertex-minimal triangulation of \(\R \mathrm {P}^4\)”. In: Electron. J. Combin. 24.1 (2017), Paper No. 1.52, 23. arXiv: 1409. 6149.

[BD12]

Bhaskar Bagchi and Basudeb Datta. “A triangulation of \({\bbC }P^3\) as symmetric cube of \(S^2\)”. In: Discrete Comput. Geom. 48.2 (2012), pp. 310–329. arXiv: 1012.3235. url: https://doi.org/10.1007/s00454-012-9436-2.

[BK87]

U. Brehm and W. Kühnel. “Combinatorial manifolds with few vertices”. In: Topology 26.4 (1987), pp. 465–473. url: http://dx.doi.org/10.1016/0040-9383(87)90042-5.

[BK92]

Ulrich Brehm and Wolfgang Kühnel. “\(15\)-vertex triangulations of an \(8\)-manifold”. In: Math. Ann. 294.1 (1992), pp. 167–193. url: http://dx.doi.org/10.1007/BF01934320.

[BL00]

Anders Björner and Frank H. Lutz. “Simplicial manifolds, bistellar flips and a 16-vertex triangulation of the Poincaré homology 3-sphere”. In: Experiment. Math. 9.2 (2000), pp. 275–289. url: http://projecteuclid.org/euclid.em/1045952351.

[BM19]

Eugenio Borghini and Elı́as Gabriel Minian. “The covering type of closed surfaces and minimal triangulations”. In: J. Combin. Theory Ser. A 166 (2019), pp. 1–10. arXiv: 1712.02833. url: https://doi.org/10.1016/j.jcta.2019.02.005.

[CM13]

F. Chapoton and L. Manivel. “Triangulations and Severi varieties”. In: Exp. Math. 22.1 (2013), pp. 60–73. arXiv: 1109.6490. url: https://doi.org/10.1080/10586458.2013.743854.

[CSS08]

Jacob Chestnut, Jenya Sapir, and Ed Swartz. “Enumerative properties of triangulations of spherical bundles over \(S^1\)”. In: European J. Combin. 29.3 (2008), pp. 662–671. arXiv: math/0611039. url: https://doi.org/10.1016/j.ejc.2007.03.005.

[Dat07]

Basudeb Datta. “Minimal triangulations of manifolds”. In: J. Indian Inst. Sci. 87.4 (2007), pp. 429–449. arXiv: math/0701735.

[Gaı̆04]

A. A. Gaı̆fullin. “Local formulas for combinatorial Pontryagin classes”. In: Izv. Ross. Akad. Nauk Ser. Mat. 68.5 (2004), pp. 13–66. arXiv: math/0407035. url: http://dx.doi.org/10.1070/IM2004v068n05ABEH000502.

[GJ08]

I. P. Goulden and D. M. Jackson. “The KP hierarchy, branched covers, and triangulations”. In: Adv. Math. 219.3 (2008), pp. 932–951. arXiv: 0803.3980. url: https://doi.org/10.1016/j.aim.2008.06.013.

[Goh]

Björn Gohla. A Categorical Model for the Hopf Fibration. arXiv: 1804.07857.

[Gor19]

Denis Gorodkov. “A 15-vertex triangulation of the quaternionic projective plane”. In: Discrete Comput. Geom. 62.2 (2019), pp. 348–373. arXiv: 1603. 05541. url: https://doi.org/10.1007/s00454-018-00055-w.

[KB83]

W. Kühnel and T. F. Banchoff. “The \(9\)-vertex complex projective plane”. In: Math. Intelligencer 5.3 (1983), pp. 11–22. url: http://dx.doi.org/10.1007/BF03026567.

[KN16]

Steven Klee and Isabella Novik. “Face enumeration on simplicial complexes”. In: Recent trends in combinatorics. Vol. 159. IMA Vol. Math. Appl. Springer, [Cham], 2016, pp. 653–686. arXiv: 1505. 06380. url: https://doi.org/10.1007/978-3-319-24298-9_26.

[KW16]

Max Karoubi and Charles Weibel. “On the covering type of a space”. In: Enseign. Math. 62.3-4 (2016), pp. 457–474. arXiv: 1612.00532. url: https://doi.org/10.4171/LEM/62-3/4-4.

[Lut]

Frank H. Lutz. Triangulated Manifolds with Few Vertices: Combinatorial Manifolds. arXiv: math/0506372.

[Lut08]

Frank H. Lutz. “Combinatorial 3-manifolds with 10 vertices”. In: Beiträge Algebra Geom. 49.1 (2008), pp. 97–106. arXiv: math / 0604018.

[Lut99]

Frank Hagen Lutz. Triangulated manifolds with few vertices and vertex-transitive group actions. Berichte aus der Mathematik. [Reports from Mathematics]. Dissertation, Technischen Universität Berlin, Berlin, 1999. Verlag Shaker, Aachen, 1999, pp. vi+137. isbn: 3-8265-6450-2.

[MS00]

K. V. Madahar and K. S. Sarkaria. “A minimal triangulation of the Hopf map and its application”. In: Geom. Dedicata 82.1-3 (2000), pp. 105–114. url: https://doi.org/10.1023/A:1005102800486.

[Sar]

Soumen Sarkar. Some \(\Z _3^n\)-equivariant triangulations of \(\CP ^n\). arXiv: 1405. 2568.

[Wal70]

David W. Walkup. “The lower bound conjecture for \(3\)- and \(4\)-manifolds”. In: Acta Math. 125 (1970), pp. 75–107.

[Zhe16]

Hailun Zheng. “Minimal balanced triangulations of sphere bundles over the circle”. In: SIAM J. Discrete Math. 30.2 (2016), pp. 1259–1268. arXiv: 1505.05598. url: https://doi.org/10.1137/15M1023841.

[Zie08]

Günter M. Ziegler. “Polyhedral surfaces of high genus”. In: Discrete differential geometry. Vol. 38. Oberwolfach Semin. Basel: Birkhäuser, 2008, pp. 191–213. arXiv: math / 0412093. url: http://dx.doi.org/10.1007/978-3-7643-8621-4_10.