Minimal Triangulations

単体分割可能な 多様体に対しては, それを実現する 単体的複体の中で, 最も単体 (頂点) の数が少ないものは何か, という問題が考えられる。 Survey としては, Lutz の [Lut] や彼の thesis [Lut99], Datta の [Dat07] などがある。頂点以外の面については Klee と Novik の survey [KN16] がある。

また, 頂点や面の数を指定して, 単体分割がいくつあるかを数えるという問題もある。

Lutz は, 多様体の triangulation についての web site を公開しているので, まずはこの web site を見るのが良いかもしれない。Lutz の thesis なども “Additional Publications” のページから download できる。

簡単なのは球面の場合で, \(d\) 次元球面の頂点数最小の単体分割は, \(\partial \Delta ^{d+1}\) であり, 頂点 \(d+1\) 個が最小である。 また, Brehm と Kühnel [BK87] は, 頂点の数が \(N\) で次元を \(d\) としたときに, \(N<3\lceil \frac {d}{2}\rceil +3\) なら球面しかないことを示している。 また \(N=3\lceil \frac {d}{2}\rceil +3\) なら, 球面か \(d=2,4,8,16\) であることも示している。

この例外的な数字は, normed divsion algebra \(\R \), \(\bbC \), \(\Ha \), \(\mathbb {O}\) 上の projective plane の次元である。そして \(\RP ^2\) と \(\CP ^2\) の場合には, 実際に6頂点, 9頂点の単体分割がある。

頂点数最小の単体分割が最も良く研究されているのも, この 射影空間の場合である。

• minimal triangulations of projective spaces

曲面の場合は, Ziegler の [Zie08] がある。 \(3\)次元多様体の場合, 例えば [Lut08] で頂点が\(10\)個の \(3\) 次元多様体の分類が行なわれている。 \(S^1\)上の\(S^k\)-bundleの単体分割を考えている人もいる。 Chestnut と Sapir と Swartz の [CSS08] である。 Minimal balanced triangulation については, Zheng [Zhe16] が考えている。 前者の Introduction は, 多様体の単体分割の問題の現状を知るのに良い。

Björner と Lutz [BL00]は, 計算機により vertex minimal triangulation を見つける, と言うことを考えている。

KP hierarchy と曲面の単体分割との関係について, Goulden と Jackson の [GJ08] の最後に書いてある。

与えられた空間とホモトピー同値な単体的複体で頂点の数が最小なもの, という問題も考えられている。 Borghini と Minian [BM19] によると, これは Karoubi と Weibel [KW16] が導入した, covering type という不変量に一致している。

多様体の間の写像を, できるだけ頂点の数の少ない単体的複体の間の単体的写像として表すことも考えられている。 Madaharと Sarkaria の [MS00]では, Hopf map \(\eta :S^3\to S^2\) を表す写像が, 12頂点の \(S^3\) から \(4\)頂点の \(S^2\) への写像として構成されている。 その応用として, 9頂点の\(\CP ^2\) の単体分割が得られている。 また, Gohla [Goh]は, \(\eta \) を object 10個の acyclic category から objet 4個の acyclic categoryへの functor として実現している。

References

[BK87]

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[BL00]

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[BM19]

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[CSS08]

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[Dat07]

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[GJ08]

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[Lut]

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[Lut08]

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[Lut99]

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[MS00]

K. V. Madahar and K. S. Sarkaria. “A minimal triangulation of the Hopf map and its application”. In: Geom. Dedicata 82.1-3 (2000), pp. 105–114. url: https://doi.org/10.1023/A:1005102800486.

[Zhe16]

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[Zie08]

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