単体分割の問題

斉藤の [斉藤利96] や Dieudonné の [Die09] によると, 単体的複体は “Analysis Situs” における Poincaré の曖昧な議論を厳密なものにするために導入されたものである。 Poincaré は, 多様体のホモロジー論を構築したかったのであり, よって長年単体分割と言えば, 多様体やそれに類する空間の単体分割のことを意味していたと思う。

• 多様体の単体分割
• semialgebraic set や subanalytic set の単体分割

空間の分割としては, stratification もあるが, control data を持つ stratum が多様体である stratification を持つ空間が triangulation を持つことは, Verona の [Ver80] で証明されている。 証明されているのは, より一般に底空間が多様体である stratified fiber bundle の場合であるが。系として, subanalytic set が triangulation を持つことの別証が得られる。

一方で凸多面体の単体分割は, 組み合せ論における重要な問題のようである。 例えば, De Loera と Rambau と Santos の本 [DRS10] を見るとよい。

• 凸多面体の単体分割

凸多面体は球体と同相であり, その境界は球面と同一視できる。よって, 凸多面体の単体分割は, 球面の単体分割で特別な性質を持つものを考えていることになる。 幾何学的な側面からは, 球面上の距離の問題とも考えられる。 Alexandrov [Ale05] により, \(S^2\) 上の有限個の点を除いて flat な metric を考えることと \(\R ^3\) の凸多面体を考えることが同値になるからである。

• flat cone sphere
• non-negatively curved triangulation of \(S^2\)

これについては, Thurston [Thu98] が詳しく調べている。 その解説として, Schwartz の [Sch] がある。

球面の non-negatively curved triangulation の個数を調べた Engel と Smillie の [ES18] の Appendix B では, 球面の正方形への分割について述べられている。

• squarulation of \(S^2\)

また, 組み合せ論では, 単体的複体の細分についても詳しく研究されている。

• barycentric subdivision
• stellar subdivision
• edgewise subdivision
• chromatic subdivision あるいは antiprism triangulation

この内, 最初の3つは, トポロジーでも使われるが。 例えば, Adiprasito と Izmestiev [AI15] は, stellar subdivision について Hudson の本 [Hud69] を参照している。 Albert [Alb], は Kozlov の本 [Koz08] を参照しているが。

三番目のものは, Athanasiadis, Brunink, Juhnke-Kubitzke の [ABJ22] によると Izmestiev と Joswig [IJ03] により多様体の branched covering を調べるための道具として導入されたもののようである。 そこでは, antiprism triangulation と呼ばれている。 また, 独立に computer science でも chromatic subdivision という名前で登場したようである。

References

[ABJ22]

Christos A. Athanasiadis, Jan-Marten Brunink, and Martina Juhnke-Kubitzke. “Combinatorics of antiprism triangulations”. In: Discrete Comput. Geom. 68.1 (2022), pp. 72–106. arXiv: 2006. 10789. url: https://doi.org/10.1007/s00454-021-00356-7.

[AI15]

Karim A. Adiprasito and Ivan Izmestiev. “Derived subdivisions make every PL sphere polytopal”. In: Israel J. Math. 208.1 (2015), pp. 443–450. arXiv: 1311.2965. url: https://doi.org/10.1007/s11856-015-1206-4.

[Alb]

Benjamin I. Albert. The Dupont Homotopy Formula and Stellar Subdivision. arXiv: 1902.00627.

[Ale05]

A. D. Alexandrov. Convex polyhedra. Springer Monographs in Mathematics. Translated from the 1950 Russian edition by N. S. Dairbekov, S. S. Kutateladze and A. B. Sossinsky, With comments and bibliography by V. A. Zalgaller and appendices by L. A. Shor and Yu. A. Volkov. Springer-Verlag, Berlin, 2005, pp. xii+539. isbn: 3-540-23158-7.

[Die09]

Jean Dieudonné. A history of algebraic and differential topology 1900–1960. Modern Birkhäuser Classics. Reprint of the 1989 edition [MR0995842]. Birkhäuser Boston, Ltd., Boston, MA, 2009, pp. xxii+648. isbn: 978-0-8176-4906-7. url: https://doi.org/10.1007/978-0-8176-4907-4.

[DRS10]

Jesús A. De Loera, Jörg Rambau, and Francisco Santos. Triangulations. Vol. 25. Algorithms and Computation in Mathematics. Structures for algorithms and applications. Berlin: Springer-Verlag, 2010, pp. xiv+535. isbn: 978-3-642-12970-4. url: http://dx.doi.org/10.1007/978-3-642-12971-1.

[ES18]

Philip Engel and Peter Smillie. “The number of convex tilings of the sphere by triangles, squares, or hexagons”. In: Geom. Topol. 22.5 (2018), pp. 2839–2864. arXiv: 1702 . 02614. url: https://doi.org/10.2140/gt.2018.22.2839.

[Hud69]

J. F. P. Hudson. Piecewise linear topology. University of Chicago Lecture Notes prepared with the assistance of J. L. Shaneson and J. Lees. W. A. Benjamin, Inc., New York-Amsterdam, 1969, pp. ix+282.

[IJ03]

Ivan Izmestiev and Michael Joswig. “Branched coverings, triangulations, and 3-manifolds”. In: Adv. Geom. 3.2 (2003), pp. 191–225. arXiv: math/0108202. url: https://doi.org/10.1515/advg.2003.013.

[Koz08]

Dmitry Kozlov. Combinatorial algebraic topology. Vol. 21. Algorithms and Computation in Mathematics. Berlin: Springer, 2008, pp. xx+389. isbn: 978-3-540-71961-8. url: https://doi.org/10.1007/978-3-540-71962-5.

[Sch]

Richard Evan Schwartz. Notes on Shapes of Polyhedra. arXiv: 1506. 07252.

[Thu98]

William P. Thurston. “Shapes of polyhedra and triangulations of the sphere”. In: The Epstein birthday schrift. Vol. 1. Geom. Topol. Monogr. Geom. Topol. Publ., Coventry, 1998, pp. 511–549. arXiv: math/9801088. url: http://dx.doi.org/10.2140/gtm.1998.1.511.

[Ver80]

Andrei Verona. “Triangulation of stratified fibre bundles”. In: Manuscripta Math. 30.4 (1979/80), pp. 425–445. url: https://doi.org/10.1007/BF01301261.

[斉藤利96]

斉藤利弥. ポアンカレ トポロジー. 数学史叢書. 東京: 朝倉書店, 1996.