Semi-algebraic setやその一般化

実数 \(\R \) は順序体なので, 不等式の解空間を考えることができる。 例えば, 一次不等式の解空間として, 凸多面体が得られる。

• polytope

多項式を用いた不等式 (と等式) で定義された \(\R ^n\) の部分集合を semi-algebraic set という。

Vilonen の [Vil00] では, [BM88] と [DM96] が参照されている。より新しいものでは, Basu と Pollack と Roy の本 [BPR06] がある。 PDF を このページから download することができる。

基本的な性質として, Tarski-Seidenberg theorem がある。Semialgebraic set の projection が, また semialgebraic になる, というものである。 証明は, 例えば, van den Dries の [Dri98] にある。

• Tarski-Seidenberg theorem

この定理により semialgebraic set 全体が o-miimal structure になることが分かる。

• o-minimal structure

Semialgebraic set のホモトピー型やホモトピー不変量などについても, Basu らにより調べられている。

• homotopy theory of semialgebraic set

Semialgebraic set は, 単体分割可能であるが, これについては Basu と Karisani [BK23] は, Basu と Pollack と Roy の本 [BPR06] の Chapter 5 を参照している。 Basu と Karisani は, semialgebraic set からその単体分割になる simplicial complex を構成する algorithm について考えている。

凸多面体や oriented matroid の realization space は semi-algebraic set になるので, それらに関した文献にも semialgebraic set に関したことは書いてある。例えば, Richter-Gebert の [Ric96] など。Realization space については次の概念が重要である．

• 2つの semi-algebraic set が stably equivalent であること

これらの realization space については, Mnëv [Mnë88] による universality theorem がある。つまり, どんな semialgebraic set に対しても, 適当な oriented matroid や convex polytope があり, その realization space と stably equivalent になるというものである。 Lee と Vakil [LV13] によると, Bokovski と Sturmfels [BS89] によっても独立に証明されたらしい。

• universality theorem

このように real (semi-)algebraic geometry は, 組み合せ論とも関係が深い。Itenberg と Roy の [IR99] では, 実1変数代数方程式の正の解の個数に関する “Decartes の rule” がその prototype である, と書いてある。

Engström と Hersh と Strumfels [EHS13] は, toric cube という, 立方体 \([0,1]^n\) の中の monomial map で定義された領域を topological combinatorics の視点から調べている。 系統樹などとも関連していて, 興味深い対象のようである。

• toric cube

様々な方向への一般化も考えられている。

• semialgebraic set の一般化や変種

References

[BK23]

Saugata Basu and Negin Karisani. “Efficient simplicial replacement of semialgebraic sets”. In: Forum Math. Sigma 11 (2023), Paper No. e41, 52. arXiv: 2009 . 13365. url: https://doi.org/10.1017/fms.2023.36.

[BM88]

Edward Bierstone and Pierre D. Milman. “Semianalytic and subanalytic sets”. In: Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math. 67 (1988), pp. 5–42. url: http://www.numdam.org/item?id=PMIHES_1988__67__5_0.

[BPR06]

Saugata Basu, Richard Pollack, and Marie-Françoise Roy. Algorithms in real algebraic geometry. Second. Vol. 10. Algorithms and Computation in Mathematics. Berlin: Springer-Verlag, 2006, pp. x+662. isbn: 978-3-540-33098-1; 3-540-33098-4.

[BS89]

Jürgen Bokowski and Bernd Sturmfels. Computational synthetic geometry. Vol. 1355. Lecture Notes in Mathematics. Berlin: Springer-Verlag, 1989, pp. vi+168. isbn: 3-540-50478-8.

[DM96]

Lou van den Dries and Chris Miller. “Geometric categories and o-minimal structures”. In: Duke Math. J. 84.2 (1996), pp. 497–540. url: http://dx.doi.org/10.1215/S0012-7094-96-08416-1.

[Dri98]

Lou van den Dries. Tame topology and o-minimal structures. Vol. 248. London Mathematical Society Lecture Note Series. Cambridge: Cambridge University Press, 1998, pp. x+180. isbn: 0-521-59838-9. url: http://dx.doi.org/10.1017/CBO9780511525919.

[EHS13]

Alexander Engström, Patricia Hersh, and Bernd Sturmfels. “Toric cubes”. In: Rend. Circ. Mat. Palermo (2) 62.1 (2013), pp. 67–78. arXiv: 1202.4333. url: https://doi.org/10.1007/s12215-013-0115-9.

[IR99]

Ilia Itenberg and Marie-Françoise Roy. “Interactions between real algebraic geometry and discrete and computational geometry”. In: Advances in discrete and computational geometry (South Hadley, MA, 1996). Vol. 223. Contemp. Math. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 1999, pp. 217–236. url: http://dx.doi.org/10.1090/conm/223/03139.

[LV13]

Seok Hyeong Lee and Ravi Vakil. “Mnëv-Sturmfels universality for schemes”. In: A celebration of algebraic geometry. Vol. 18. Clay Math. Proc. Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2013, pp. 457–468. arXiv: 1202.3934.

[Mnë88]

N. E. Mnëv. “The universality theorems on the classification problem of configuration varieties and convex polytopes varieties”. In: Topology and geometry—Rohlin Seminar. Vol. 1346. Lecture Notes in Math. Berlin: Springer, 1988, pp. 527–543. url: http://dx.doi.org/10.1007/BFb0082792.

[Ric96]

Jürgen Richter-Gebert. Realization spaces of polytopes. Vol. 1643. Lecture Notes in Mathematics. Berlin: Springer-Verlag, 1996, pp. xii+187. isbn: 3-540-62084-2.

[Vil00]

Kari Vilonen. “Geometric methods in representation theory”. In: Representation theory of Lie groups (Park City, UT, 1998). Vol. 8. IAS/Park City Math. Ser. Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2000, pp. 241–290. arXiv: math/0410032.