系統樹やtree of life

Billera と Holmes と Vogtmann の [BHV01] では, 生物学の系統樹 (phylogenetic tree) を調べるために complex of trees が考えられている。Complex of trees とは, binary tree から作られる 単体的複体である。

• complex of trees

Sturmfels と Sulliant の [SS08] で考えられているグラフから作られる toric variety は, 系統樹の Jukes-Cantor モデルの一般化になっているらしい。 この手の話題については, 他に Sturmfels と Sulliant の [SS] や Buczynska と Wisniewski の [BW], そして [Eri+05] がある。 このような研究を, phylogenetic algebraic geometry と呼ぶようになったようである。

• phylogenetic algebraic geometry

その流れで, グラフから phylogenetic semigroup という semigroup を定義することも考えられている。 Buczyńska [Buc] により, trivalent graph 上の Jukes-Cantor モデルの affine semigroup の一般化として導入された。その後, Buczyńska と Buczyński と Kubjas と Michalek の [Buc+13] で任意のグラフに一般化されている。

• phylogenetic semigroup

Kubjas の [Kub] によると, phylogenetic semigroup は, phylogenetic algebraic geometry 以外にも Wess-Zumino-Witten model や conformal block の研究などにも現われるようである。Manon の [Man] など。

Baez と Otter [BO] は, operad を使うことを提案している。

Terhorst の [Ter] によると, phylogenetic tree に circuit の存在も許したものは phylogenetic network と呼ばれるらしい。

• phylogenetic network

Terhorst はその一種の split network から作られる 単体的複体を Kalmason complex と名付け調べている。

遺伝子の解析のために ARG (ancestral recombination graph) と呼ばれる phylogenetic network が考えられている。それを TDA の手法で調べたものとして Cámara, Levine, Rabadán の [CLR] がある。

系統樹は種 (species) を頂点とするグラフであるが, Darwin の時代から, 種とは何かというのは, 生物の進化を考える上で最も基本的な問題であり, まだ誰もが納得するような定義は得られていない, と思う。 個人的には種という概念を定義するのは, 不可能だと思っている。

そこで, Dress ら [Dre+10] は, 「これまで地球上に存在した全ての生命体からなるグラフ」を考え, 離散数学の道具でそれを調べることを提案している。

• tree of life

そのグラフの一部でかたまり (cluster) のようになっている集団を「種」とみなそう, というアイデアである。

References

[BHV01]

Louis J. Billera, Susan P. Holmes, and Karen Vogtmann. “Geometry of the space of phylogenetic trees”. In: Adv. in Appl. Math. 27.4 (2001), pp. 733–767. url: http://dx.doi.org/10.1006/aama.2001.0759.

[BO]

John C. Baez and Nina Otter. Operads and Phylogenetic Trees. arXiv: 1512.03337.

[Buc]

Weronika Buczyńska. Phylogenetic toric varieties on graphs. arXiv: 1004.1183.

[Buc+13]

Weronika Buczyńska, Jarosław Buczyński, Kaie Kubjas, and Mateusz Michałek. “On the graph labellings arising from phylogenetics”. In: Cent. Eur. J. Math. 11.9 (2013), pp. 1577–1592. arXiv: 1105.5382. url: https://doi.org/10.2478/s11533-013-0263-3.

[BW]

Weronika Buczynska and Jaroslaw A. Wisniewski. On phylogenetic trees - a geometer’s view. arXiv: math/0601357.

[CLR]

Pablo G. Camara, Arnold J. Levine, and Raul Rabadan. Inference of Ancestral Recombination Graphs through Topological Data Analysis. arXiv: 1505.05815.

[Dre+10]

Andreas Dress, Vincent Moulton, Mike Steel, and Taoyang Wu. “Species, clusters and the ‘Tree of life’: A graph-theoretic perspective”. In: Journal of Theoretical Biology 265.4 (2010), pp. 535–542. arXiv: 0908.2885. url: http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0022519310002742.

[Eri+05]

Nicholas Eriksson, Kristian Ranestad, Bernd Sturmfels, and Seth Sullivant. “Phylogenetic algebraic geometry”. In: Projective varieties with unexpected properties. Walter de Gruyter GmbH & Co. KG, Berlin, 2005, pp. 237–255. arXiv: math/0407033.

[Kub]

Kaie Kubjas. Low degree minimal generators of phylogenetic semigroups. arXiv: 1304.0744.

[Man]

Christopher A. Manon. The Algebra of Conformal Blocks. arXiv: 0910.0577.

[SS]

Bernd Sturmfels and Seth Sullivant. Toric ideals of phylogenetic invariants. arXiv: q-bio/0402015.

[SS08]

Bernd Sturmfels and Seth Sullivant. “Toric geometry of cuts and splits”. In: Michigan Math. J. 57 (2008). Special volume in honor of Melvin Hochster, pp. 689–709. arXiv: math/0606683. url: http://dx.doi.org/10.1307/mmj/1220879432.

[Ter]

Jonathan Terhorst. The Kalmanson Complex. arXiv: 1102.3177.