Generalizations and Variations of Semialgebraic Sets

Semialgebraic set は, 定義が単純なので, 様々な方向に一般化が考えられている。

まず, 多項式を analytic function に変えることで, 次のような種類の空間が定義され調べられている。

• semi-analytic set
• subanalytic set

これらの空間については, Bierstone と Milman の [BM88] がある。 Subanalytic set については, Hironaka の [Hir73] がある。 その main theorem は, countable at infinity である subanalytic set が, Whitney stratification を持つことである。

Semi-analytic set や subanalytic set の orbifold 版を考えているのは, Kankaanrinta [Kan] である。また [Kan12] では, その triangulation について考えている。

Semialgebraic set を張り合わせてできた Nash manifold という 多様体の一般化もある。 張り合わせるときの写像には, グラフが semialgebraic set になっているという条件をつける。Shiota の本 [Shi87] がある．

• Nash manifold

\(\R \) 以外の体上の semialgebraic set を考えることもできる。

• \(p\)-adically closed field やより一般の体上の semialgebraic set

例えば, Denef の [Den84; Den86] では \(p\)進数体 \(\Q _{p}\) の 有限次拡大体上の semialgebraic set の “cell decomposition” の存在が証 明されている。 Darnière [Dar19] は, \(p\)-adic closed field [AK65] 上の semialgebraic set の 三角形分割の存在を証明している。 そこで使われている単体や多面体は, [Dar17] で定義されている。

References

[AK65]

James Ax and Simon Kochen. “Diophantine problems over local fields. II. A complete set of axioms for \(p\)-adic number theory”. In: Amer. J. Math. 87 (1965), pp. 631–648. url: http://dx.doi.org/10.2307/2373066.

[BM88]

Edward Bierstone and Pierre D. Milman. “Semianalytic and subanalytic sets”. In: Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math. 67 (1988), pp. 5–42. url: http://www.numdam.org/item?id=PMIHES_1988__67__5_0.

[Dar17]

Luck Darnière. “Polytopes and simplexes in \(p\)-adic fields”. In: Ann. Pure Appl. Logic 168.6 (2017), pp. 1284–1307. arXiv: 1602.07209. url: https://doi.org/10.1016/j.apal.2017.01.001.

[Dar19]

Luck Darnière. “Semi-algebraic triangulation over \(p\)-adically closed fields”. In: Proc. Lond. Math. Soc. (3) 118.6 (2019), pp. 1501–1546. arXiv: 1702.05030. url: https://doi.org/10.1112/plms.12221.

[Den84]

J. Denef. “The rationality of the Poincaré series associated to the \(p\)-adic points on a variety”. In: Invent. Math. 77.1 (1984), pp. 1–23. url: http://dx.doi.org/10.1007/BF01389133.

[Den86]

Jan Denef. “\(p\)-adic semi-algebraic sets and cell decomposition”. In: J. Reine Angew. Math. 369 (1986), pp. 154–166. url: http://dx.doi.org/10.1515/crll.1986.369.154.

[Hir73]

Heisuke Hironaka. “Subanalytic sets”. In: Number theory, algebraic geometry and commutative algebra, in honor of Yasuo Akizuki. Tokyo: Kinokuniya, 1973, pp. 453–493.

[Kan]

Marja Kankaanrinta. On subanalytic subsets of real analytic orbifolds. arXiv: 1104.4653.

[Kan12]

Marja Kankaanrinta. “A subanalytic triangulation theorem for real analytic orbifolds”. In: Topology Appl. 159.5 (2012), pp. 1489–1496. arXiv: 1105.0209. url: https://doi.org/10.1016/j.topol.2012.01.010.

[Shi87]

Masahiro Shiota. Nash manifolds. Vol. 1269. Lecture Notes in Mathematics. Berlin: Springer-Verlag, 1987, pp. vi+223. isbn: 3-540-18102-4.