多面体と代数学

多面体と代数的構造の関係について, 古い話題としては, Newton polytope がある。より新しいものとしては, Stanley-Reisner 環が重要なものである。多項式と多面体の関係について, 何か一つ読むとすれば, Sturmfels の [Stu96] が良いように思う。

• Newton polytope
• Stanley-Reisner 環

Newton polytope は, 現在でも重要な研究対象である。Sturmfels と Tevelev と Yu の [STY07] では, tropical geometry を用いて [SY94] で提示された問題について述べている。

Ichim と Römer は [IR07] で Stanley-Reiser 環と affine monoid ring の両方を含む環を考えている。

ある内積空間の中の凸多面体全体の集合に対し, Minkowski sum は可換な semigroup の構造を定義する。よってその Grothendieck group が考えられる。その元を virtual polytope という。

• virtual polytope

Buchstaber と Erokhovets [BE] は, 全ての凸多面体から環を作ることを考えている。

• ring of polytopes

Okounkov は, [Oko96] で projective variety の上の linear series に対し convex body を対応させる方法を考えた。Smooth toric variety の場合は convex polytope になるらしい。 Lazarsfeld と Mustata が [LM09] で Okounkov の構成をより一般的な枠組みで考えようとしている。

• Okounkov body

表現論には, 様々な組み合せ論的構造が現れるが, そのような組み合せ論的データからは, 当然多面体も構成されている。 目についたものを記録すると以下のようになる。

• Gel\('\)fand-Tsetlin (or Cetlin or Zetlin) polytope [GC50]
• orbit polytope [DE09]
• Mirković-Vilonen polytope [And03; Kam10; TW16]
• Khovanov-Lauda-Rouquier polytope [TW16]
• pseudo-Weyl polytope [Kam10]
• affine Mirković-Vilonen polytope [BKT14]
• string polytope [Lit98; Ste22]
• \(\mathrm {Sp}_{2n}\)-polytope [Žel73]
• Nakashima-Zelevinsky string polytope [NZ97]
• FFLV polytope [FFL11a; FFL11b]

全く異なる方向の代数との関連では, \(p\)-adically closed field [AK65] 上の凸多面体がある。Darnière [Dar17] により導入された。

• \(p\)-adically closed field 上の polytope

その目的は, \(p\)-adically closed field 上定義された semialgebraic set の単体分割の存在の証明である。

References

[AK65]

James Ax and Simon Kochen. “Diophantine problems over local fields. II. A complete set of axioms for \(p\)-adic number theory”. In: Amer. J. Math. 87 (1965), pp. 631–648. url: http://dx.doi.org/10.2307/2373066.

[And03]

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[BE]

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[BKT14]

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[Dar17]

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[DE09]

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[FFL11b]

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[IR07]

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[Kam10]

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[Oko96]

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[Ste22]

Christian Steinert. “A diagrammatic approach to string polytopes”. In: Algebr. Comb. 5.1 (2022), pp. 63–91. arXiv: 2011.12003. url: https://doi.org/10.5802/alco.196.

[Stu96]

Bernd Sturmfels. Gröbner bases and convex polytopes. Vol. 8. University Lecture Series. Providence, RI: American Mathematical Society, 1996, pp. xii+162. isbn: 0-8218-0487-1.

[STY07]

Bernd Sturmfels, Jenia Tevelev, and Josephine Yu. “The Newton polytope of the implicit equation”. In: Mosc. Math. J. 7.2 (2007), pp. 327–346, 351. arXiv: math/0607368.

[SY94]

Bernd Sturmfels and Jie Tai Yu. “Minimal polynomials and sparse resultants”. In: Zero-dimensional schemes (Ravello, 1992). Berlin: de Gruyter, 1994, pp. 317–324.

[TW16]

Peter Tingley and Ben Webster. “Mirković-Vilonen polytopes and Khovanov-Lauda-Rouquier algebras”. In: Compos. Math. 152.8 (2016), pp. 1648–1696. arXiv: 1210.6921. url: https://doi.org/10.1112/S0010437X16007338.

[Žel73]

D. P. Želobenko. Compact Lie groups and their representations. Translations of Mathematical Monographs, Vol. 40. Translated from the Russian by Israel Program for Scientific Translations. American Mathematical Society, Providence, R.I., 1973, pp. viii+448.