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Semialgebraic set のホモトピー型やホモトピー不変量などについては, Basu と Pollack と Roy
の本 [BPR06] も含めた Basu らの仕事 [Bas08; BPR10] がある。 ただ, semialgebraic set
のホモトピー論を systematic に研究したのは Delfs と Knebusch [DK85] が最初のようである。 Basu
は [Bas08] というsurvey も書いている。[BPR09] には Betti数の計算についての “Brief History”
がある。
Basu と Riener [BR17] によると, Betti数の upper bound は computer science
などへの応用があるらしい。文献としては, [BPR05; Yao97; MMP96; BL94] などが挙げられている。
Semialgebraic set の一般(コ)ホモロジーを考えている人 [Piȩ13] もいる。o-minimal structure
上に一般化したものであるが。 ホモロジーは, Delfs [Del91] も調べている。
Rational (real) homotopy type については, Hardt, Lambrechts, Turchin, Volić の
[Har+11] がある。 もっとも, そのアイデアは Kontsevich と Soibelman の [KS00] の Appendix であり,
Hardt らの論文は, その細部を埋めたもののようである。
Kontsevich と Soibelmann は, semialgebraic set より一般的な piecewise algebraic space
に対し, singular chain complex と quasi-isomorphic な chain complex の構成について述べている。
- piecewise algebraic space
Kontsevich と Soibelman の motivation は, little cube operad の formality, そして,
Deligne予想である。
References
-
[Bas08]
-
Saugata Basu. “Algorithmic semi-algebraic geometry
and topology—recent progress and open problems”. In: Surveys on
discrete and computational geometry. Vol. 453. Contemp. Math.
Providence, RI: Amer. Math. Soc., 2008, pp. 139–212. arXiv: 0708.
2854.
-
[BL94]
-
Anders Björner and László Lovász. “Linear decision trees, subspace
arrangements and Möbius functions”. In: J. Amer. Math. Soc. 7.3
(1994), pp. 677–706. url: https://doi.org/10.2307/2152788.
-
[BPR05]
-
Saugata Basu, Richard Pollack, and Marie-Françoise Roy. “Betti
number bounds, applications and algorithms”. In: Combinatorial
and computational geometry. Vol. 52. Math. Sci. Res. Inst. Publ.
Cambridge Univ. Press, Cambridge, 2005, pp. 87–96.
-
[BPR06]
-
Saugata Basu, Richard Pollack, and Marie-Françoise Roy.
Algorithms in real algebraic geometry. Second. Vol. 10. Algorithms
and Computation in Mathematics. Berlin: Springer-Verlag, 2006,
pp. x+662. isbn: 978-3-540-33098-1; 3-540-33098-4.
-
[BPR09]
-
Saugata Basu, Dmitrii V. Pasechnik, and Marie-Françoise
Roy. “Computing the Betti numbers of semi-algebraic sets
defined by partly quadratic sytems of polynomials”. In: J.
Algebra 321.8 (2009), pp. 2206–2229. arXiv: 0806 . 3911. url:
http://dx.doi.org/10.1016/j.jalgebra.2008.09.043.
-
[BPR10]
-
Saugata Basu, Dmitrii V.
Pasechnik, and Marie-Françoise Roy. “Bounding the Betti numbers
and computing the Euler-Poincaré characteristic of semi-algebraic
sets defined by partly quadratic systems of polynomials”. In: J. Eur.
Math. Soc. (JEMS) 12.2 (2010), pp. 529–553. arXiv: 0708.3522.
url: http://dx.doi.org/10.4171/JEMS/208.
-
[BR17]
-
Saugata Basu and Cordian Riener. “Bounding the equivariant
Betti numbers of symmetric semi-algebraic sets”. In: Adv.
Math. 305 (2017), pp. 803–855. arXiv: 1312 . 6582. url:
https://doi.org/10.1016/j.aim.2016.09.015.
-
[Del91]
-
Hans
Delfs. Homology of locally semialgebraic spaces. Vol. 1484. Lecture
Notes in Mathematics. Springer-Verlag, Berlin, 1991, pp. x+136.
isbn: 3-540-54615-4. url: https://doi.org/10.1007/BFb0093939.
-
[DK85]
-
Hans Delfs and Manfred
Knebusch. Locally semialgebraic spaces. Vol. 1173. Lecture Notes
in Mathematics. Springer-Verlag, Berlin, 1985, pp. xvi+329. isbn:
3-540-16060-4. url: http://dx.doi.org/10.1007/BFb0074551.
-
[Har+11]
-
Robert Hardt, Pascal Lambrechts, Victor Turchin, and Ismar
Volić. “Real homotopy theory of semi-algebraic sets”. In: Algebr.
Geom. Topol. 11.5 (2011), pp. 2477–2545. arXiv: 0806.0476. url:
http://dx.doi.org/10.2140/agt.2011.11.2477.
-
[KS00]
-
Maxim Kontsevich and Yan Soibelman. “Deformations of algebras
over operads and the Deligne conjecture”. In: Conférence Moshé
Flato 1999, Vol. I (Dijon). Vol. 21. Math. Phys. Stud. Dordrecht:
Kluwer Acad. Publ., 2000, pp. 255–307. arXiv: math/0001151.
-
[MMP96]
-
J. L. Montaña, J. E. Morais, and Luis M. Pardo. “Lower bounds
for arithmetic networks. II. Sum of Betti numbers”. In: Appl.
Algebra Engrg. Comm. Comput. 7.1 (1996), pp. 41–51. url:
https://doi.org/10.1007/BF01613615.
-
[Piȩ13]
-
Artur Piȩkosz.
“O-minimal homotopy and generalized (co)homology”. In: Rocky
Mountain J. Math. 43.2 (2013), pp. 573–617. arXiv: 0808.3866.
url: https://doi.org/10.1216/RMJ-2013-43-2-573.
-
[Yao97]
-
Andrew Chi-Chih Yao. “Decision tree complexity and Betti
numbers”. In: vol. 55. 1, part 1. 26th Annual ACM Symposium on
the Theory of Computing (STOC ’94) (Montreal, PQ, 1994). 1997,
pp. 36–43. url: https://doi.org/10.1006/jcss.1997.1495.
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