Little Cubes Operad とその変種

Little cube の成す空間 \(\cC _{n}(j)\) を用いて operad \(\cC _{n}\) を定義し, それを用いて多重ループ空間を調べた May の仕事 [May72] が, operad の理論の始まりである。よって little cubes operad は operad の代表的な例の一つである。

• May の little cubes operad

基本的な性質として, まずは May の本にある Recognition Principle がある。

• (Recognition Principle) Little \(n\)-cube の成す operad \(\cC _{n}\) の作用する空間は, \(n\)重ループ空間に弱ホモトピー同値である。

この Recognition Principle の応用例としては, Budney による long knot の空間の例 [Bud07; Bud] が面白いと思う。

\(\cC _{n}\) 達の関係としては, Dunn [Dun88] による operad の tensor product を用いたものがある。その証明としては, Barata と Moerdijk による もの [BM] もある。

• \(\cC _{m}\otimes \cC _{n}\simeq \cC _{m+n}\)

Little \(n\)-cube operad \(\cC _{n}\) (かそれと同値な operad) が作用する空間は, \(E_{n}\)-space と呼ばれる。May は, その後 \(E_{\infty }\)-spectrum の概念を得, それを基に \(S\)-module の概念を導入した。

Little cubes operad は, \(n\)重ループ空間を, ループ空間を取る操作を繰り替してできた空間 \[ \Omega ^n X = \underbrace {\Omega \cdots \Omega }_n X \] とみなすときには適しているが, これは \(n\)次元実ベクトル空間 \(V\) の基底を選び, \(V\cong \R ^{n}\) とみなしていることに対応する。 Equivariant な場合など, このようにきちんと座標軸 (基底) を決めたくない場合も多い。 有限次元ベクトル空間 \(V\) に対し \[ \Omega ^V X = \mathrm {Map}_*(V\cup \{\infty \},X) \] を \(V\) の functor として調べたいときである。そのために coordinate-free なものも考えられている。代表的なのは Steiner によるものである。

• Steiner opeard [Ste79]

無限次元の場合, つまり無限ループ空間に対応する場合は, May が \(\cC _{n}\) の colimit で \(\cC _{\infty }\) を定義しているが, Elmendorf-Kriz-Mandell-May の spectrum の構成では, coordinate-free version として, linear isometries operad が用いられている。

• linear isometries operad [Elm+97]

拡張として, Voronov [Vor99] による Swiss cheese operad がある。

• Swiss cheese operad

Operad と多重ループ空間の関係を考えるときには, monodal category と多重ループ空間の関係も理解しておくとよい。例えば monoidal structure の定義に五角形が現われることから\(1\)重ループ空間と関係があることがわかる。 \(2\)重ループ空間は, braided monoidal structure, そして無限ループ空間は, symmetric monoidal structure に対応する。それぞれ, \(1\)次元, \(2\)次元, \(\infty \)次元の little cube operad と対応する。当然, \(2\) と \(\infty \) の間がどうなっているのか気になるが, それについては Batanin が [Bat10] で対応する operad を作っている。

\(n=2\) と \(n=\infty \) のときが特別なのは, little \(n\)-cubes operad を成す空間が \(K(\pi ,1)\) だからである。 群はそれぞれ braid群と対称群である。 このような \(K(\pi ,1)\) operad については, Zhang が [Zha] で調べている。

Little cubes operad は, 様々な写像空間を作る材料としても重要である。 ただし, その構成のためなら, operad の構造を持つ必要はない。 そのことを明記した文献としては, [CMT78] がある。 Cohen と May と Taylor は, coefficient system という言葉を使ったが, その後 C. Berger は preoperad という言葉を導入した。今は preoperad の方が popular だろう。

• preoperad [Ber97]

Little cubes operad, より正確には \(E_n\)-operad は, Deligne予想という形で代数 (ホモロジー代数) にも関係していることが分っている。

• \(E_n\)-operad
• Hochschild complex に関する Deligne予想

Hochschild homology と free loop space のホモロジーの関係から, free loop space \(LM = \mathrm {Map}(S^1,M)\) に自然な \(\mathcal {C}_2\) の作用があることが期待されるが, それはホモロジーのレベルで Chas と Sullivan により発見された。 空間レベルでは, 残念ながら \(LM\) そのものではなくその上のある vector bundle の Thom spectrum に \(\mathcal {C}_2\) が作用する。それは Ralph Cohen と J.D.S. Jones の結果 [CJ02] である。更に, Hu と Kriz と Voronov の仕事から, \(k>1\) に対しても \(\mathrm {Map}(S^k,M)\) から \(\mathcal {C}_{k+1}\) の作用を持つ spectrum を作ることができることが予想されるが, それについては, Hu による結果 [Hu06] がある。

• 有限単体的複体 \(X\) に対し \(X\) 上の spectrum \(S(X)\) の構成
• 有限単体的複体 \(X\) に対し spectrum \(\mathrm {Map}(S^k,X)^{S(X)}\) の定義
• \(\mathrm {Map}(S^k,X)^{S(X)}\) は \(\mathcal {C}_{k+1}\) の作用を持つ spectrum である。

より正確には, Cohen と Jones は \(LM\) の normal bundle の Thom complex 上にサボテン operad の作用を定義した。 サボテン operad と同値な operad で有名なものとして, framed disks operad がある。

• サボテンoperad (cacti operad) と関連した operad
• framed disks operad

Framed disk operad は, \(\mathrm {SO}(n)\) の作用を持つが, 他にも群の作用を持つ場合も考えられている。 まず, そのような枠組みとして, Blumberg と Hill [BH15] が \(E_{\infty }\)-operad の equivariant 版として \(N_{\infty }\)-operad を導入している。その目的は, equivariant ring spectrum を定義することだったが。 具体的な little disk operad の equivariant 版としては Hill の [Hil22] などがある。

• \(N_{\infty }\)-operad

\(N_{\infty }\)-operad のホモトピー圏は, Blumberg と Hill により indexing system の poset と同値であることが予想されたが, Rubin [Rub21] により, その予想が証明されている。

Operad があれば, その上の algebra を考えるのが普通である。 位相空間の圏では, 次のものが有名である。

• \(E_{\infty }\)-ring space
• \(A_{\infty }\)-ring space

より幾何学的な問題との関係としては, moduli space がある。

• moduli space の成す operad

Configuration space の compactification により得られる operad については, Merkulov の [Mer11] を見るとよい。

Configuration space や marked point 付き Riemann面の moduli space などと関係が深いものとして, Grothendieck-Teichmüller theory がある。 そして, 最近 little cubes operad との関係も調べられてきた。Horel の [Hor17] の Introduction が分かりやすい。Fresse による本 [Fre17a; Fre17b] もある。

• Grothendieck-Teichmüller theory

Horel は, その中で little \(2\)-cubes operad のモデルとして, groupoid の operad を用いている。その classifying space が little \(2\)-cubes operad とホモトピー同値になるようなものである。

• operad of parenthesized (unital) braids

Horel が [Hor17] で調べたのは profinite completion であるが, Horel は [Hor] で, Bousfield-Kan \(p\)-adic completion の automorphism を調べ, それが pro-\(p\) Grothendieck-Teichmüller group で与えられることを示している。

他の変種としては, 重なりを許したものが考えられている。かつて修士の学生 に考えてもらったことは, [Tam00] の §4.4 に書いた。 そこで考えられている \(\mathcal {D}_{n}^{i}(j)\) は, \(j\)個の \(n\)-cube で, 高々 \(i\)個の \(n\)-cube が同時に交わってもよいものである。 同様のことは, Kallel [Kal01] も考えている。 他にも, Dobrinska と Turchin の [DT15] や Grossnickle の [Gro] などがある。

• overlap を許した cube や disk の空間

References

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