K(π,1)

基本群が \(\pi \) で, それ以外の ホモトピー群が全て自明であるような空間を, \(K(\pi ,1)\) 空間という。 つまり, 離散群の分類空間になっている空間のことである。 別の言い方をすると, 弧状連結で, かつ\(2\)次以上のホモトピー群が消えている空間のことである。 古い文献では aspherical と呼ばれることも多い。 その方が群を指定しなくてもよいので, 便利なときもある。 このような空間は, 様々な幾何学的問題で登場する。 例えば, 複素超平面配置について, その補集合が \(K(\pi ,1)\) かどうかというのは重要な問題である。

• 複素超平面配置の \(K(\pi ,1)\) 問題

他にも, 幾何学的な問題に登場する空間が \(K(\pi ,1)\) になっている場合は多い。Goryunov の [Gor00] によると, 特異点論での \(K(\pi ,1)\) 問題を考え始めたのは, Arnold [Bri73] のようである。 Damon と Pike の [DP] には Brieskorn の名前 [Bri71] も併記されている。Catanese の [Cat] では \(K(\pi ,1)\) である projective variety が考えられている。

Damon と Pike によると, そのような空間と reflection arrangement の共通の一般化として, Saito [Sai80] により導入されたのが free divisor であり, 彼等は complement が \(K(\pi ,1)\) であるような free divisor の新しい例を構成している。

• free divisor

任意の弧状連結な位相空間が, \(K(\pi ,1)\) 空間とホモロジー同値になるというのが, 有名な Kan-Thurston の定理である。

• Kan-Thurston の定理

Cerdeiro と Minian [CM14] によると, Whitehead の「2次元 \(K(\pi ,1)\) の subcomplex が \(K(\pi ,1)\) か?」という問題 [Whi41] はまだ未解決らしい。

• Whitehead conjecture

Barmak と Minian の [BM] では, この予想に関する文献として, Cockcroft の [Coc54], Bogley の [Bog93], Sierdaski の [Sie93], Adams の [Ada55], Howie の [How82; How83] が挙げられている。

ホモトピー群の類似が定義できれば, 同様の概念は位相空間以外にも定義できる。 例えば, étale homotopy type を用いれば, scheme に対しても \(K(\pi ,1)\) という概念が定義できる。 Alexander Schmidt の [Sch07; Sch09] など。

Biswas と Mj と Pancholi [BMP] は, 多様体のクラスを限定して, その中で与えられた finitely presented group の \(K(\pi ,1)\) が見付けられるかという問題を考えている。そのために彼等が導入したのは, homotopical height という概念である。

• homotopical height

ある多様体のクラス \(\mathcal{C}\) を指定して, その中で \(\pi _1(M)=G\) であり, かつ \(1<i<n\) に対し \(\pi _i(M)=0\) である多様体が存在するとき, 群 \(G\) の \(\mathcal{C}\) での homotopical height は \(n\) 以上であるという。 群 \(G\) の不変量とも考えられるし, 多様体のクラス \(\mathcal{C}\) の性質を記述するものとも考えられる。 Biswas らは様々な多様体のクラスについて考察している。

References

[Ada55]

J. F. Adams. “A new proof of a theorem of W. H. Cockcroft”. In: J. London Math. Soc. 30 (1955), pp. 482–488. url: https://doi.org/10.1112/jlms/s1-30.4.482.

[BM]

Jonathan Ariel Barmak and Elias Gabriel Minian. A new test for asphericity and diagrammatic reducibility of group presentations. arXiv: 1601.00604.

[BMP]

Indranil Biswas, Mahan Mj, and Dishant Pancholi. Homotopical Height. arXiv: 1302.0607.

[Bog93]

William A. Bogley. “J. H. C. Whitehead’s asphericity question”. In: Two-dimensional homotopy and combinatorial group theory. Vol. 197. London Math. Soc. Lecture Note Ser. Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1993, pp. 309–334. url: https://doi.org/10.1017/CBO9780511629358.012.

[Bri71]

E. Brieskorn. “Die Fundamentalgruppe des Raumes der regulären Orbits einer endlichen komplexen Spiegelungsgruppe”. In: Invent. Math. 12 (1971), pp. 57–61.

[Bri73]

Egbert Brieskorn. “Sur les groupes de tresses [d’après V. I. Arnol\('\)d]”. In: Séminaire Bourbaki, 24ème année (1971/1972), Exp. No. 401. Berlin: Springer, 1973, 21–44. Lecture Notes in Math., Vol. 317.

[Cat]

Fabrizio Catanese. Topological methods in moduli theory. arXiv: 1411.3235.

[CM14]

Manuela Ana Cerdeiro and Elias Gabriel Minian. “A new approach to Whitehead’s asphericity question”. In: J. Homotopy Relat. Struct. 9.2 (2014), pp. 339–348. arXiv: 1203.5348. url: https://doi.org/10.1007/s40062-013-0031-x.

[Coc54]

W. H. Cockcroft. “On two-dimensional aspherical complexes”. In: Proc. London Math. Soc. (3) 4 (1954), pp. 375–384. url: https://doi.org/10.1112/plms/s3-4.1.375.

[DP]

James Damon and Brian Pike. Solvable Group Representations and Free Divisors whose Complements are \(K(\pi , 1)\)’s. arXiv: 1310.8280.

[Gor00]

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[How82]

James Howie. “On locally indicable groups”. In: Math. Z. 180.4 (1982), pp. 445–461. url: https://doi.org/10.1007/BF01214717.

[How83]

James Howie. “Some remarks on a problem of J. H. C. Whitehead”. In: Topology 22.4 (1983), pp. 475–485. url: https://doi.org/10.1016/0040-9383(83)90038-1.

[Sai80]

Kyoji Saito. “Theory of logarithmic differential forms and logarithmic vector fields”. In: J. Fac. Sci. Univ. Tokyo Sect. IA Math. 27.2 (1980), pp. 265–291.

[Sch07]

Alexander Schmidt. “Rings of integers of type \(K(\pi ,1)\)”. In: Doc. Math. 12 (2007), 441–471 (electronic). arXiv: 0705.3372.

[Sch09]

Alexander Schmidt. “On the \(K(\pi ,1)\)-property for rings of integers in the mixed case”. In: Algebraic number theory and related topics 2007. RIMS Kôkyûroku Bessatsu, B12. Res. Inst. Math. Sci. (RIMS), Kyoto, 2009, pp. 91–100. arXiv: 0801.2103.

[Sie93]

Allan J. Sieradski. “Algebraic topology for two-dimensional complexes”. In: Two-dimensional homotopy and combinatorial group theory. Vol. 197. London Math. Soc. Lecture Note Ser. Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1993, pp. 51–96. url: https://doi.org/10.1017/CBO9780511629358.004.

[Whi41]

J. H. C. Whitehead. “On adding relations to homotopy groups”. In: Ann. of Math. (2) 42 (1941), pp. 409–428. url: https://doi.org/10.2307/1968907.