Reedy category とその一般化

ある圏 \(\bm {C}\) が モデル構造を持つときに, その圏での simplicial object や cosimplicial object の圏にモデル構造を持ってくることができる。これは, Reedy が有名な未出版の論文で考えたことである。Reedy の preprint は Hirschorn のホームページから download できる。

Reedy の議論は, simplicial object だけでなく, \(\Delta \) と同じような性質を持つ small category \(R\) からの関手のなす圏 \(\category {Funct}(R,\bm {C})\) でも適用できるため, その性質を抽象化して Reedy category という概念が定義された。

• Reedy category

Reedy category の基本的なことについては, Riehl と Verity の [RV14] を見るとよいと思う。ただ, この ShulmanのMathOverflowでの質問 (とその解答) によると, 定義には微妙に異なるものが2種類あるようで, 気をつけた方がよい。

例としては, \(\Delta \) 以外には, finite poset が基本的である。 そして opposite や product を取る操作でも閉じている。

Reedy category を定義域に持つ関手の圏のモデル構造については, 詳細は [Hov99] や [Hir03] や [Dwy+04] などのモデル圏の教科書にある。

• Reedy model structure

Reedy category の間の functor としては, 当然その構造を保つものを考えるべきである。Hirschhorn と Volić [HV] は, そのようなものを Reedy functor と呼んでいる。彼等の目的は, model category \(\bm {M}\) が与えられたとき, 2つのReedy category \(C\) と \(D\) の間のReedy functor \(f:C\to D\) から誘導された functor \(f^*: M^{D}\to M^{C}\) が left あるいは right Quillen functor にな る条件を求めることである。そのような条件として fibering と cofibering という条件を導入している。

• Reedy functor
• fibering Reedy functor と cofibering Reedy functor

Reedy category の一般化としては, まず Angeltveit の enriched version [Ang08] がある。Berger と Moerdijk は, [BM11] で dendroidal set や cyclic set などにも適用できる拡張を考えてい る。Bergner と Rezk [BR13] は, sub-multicategory を用いた multi-Reedy category の概念を用いている。

• enriched Reedy category
• Berger と Moerdijk の generalized Reedy category
• multi-Reedy category

Shulman [Shu] は, functor の bigluing という操作に基づいた Reedy model structure を特徴付けることを考えて, それにより Reedy category の一般化が考えられると言っている。

Generalized Reedy category の中で Eilenberg-Zilber category という class を Berger ら [BM11; MN16] が定義している。Hackney ら[HRY18]は, 彼等の up to homotopy properad の研究で出てくる graphical category が Eilenberg-Zilber category であることを示している。 より基本的な例として, cubical set や cubical set with connection を定義するときの category \(\Box \) や \(\Box _{\sharp }\) がある。Doherty らの [Doh+24] に書かれている。そこでは, Eilenberg-Zilber category は EZ-Reedy category と呼ばれている。

• Eilenberg-Zilber category or EZ-Reedy category

形容詞のついた Reedy category としては, Bergner と Rezk [BR13] の elegant Reedy category もある。例えば \(\Delta \) は elegant である。

• elegant Reedy category

References

[Ang08]

Vigleik Angeltveit. “Enriched Reedy categories”. In: Proc. Amer. Math. Soc. 136.7 (2008), pp. 2323–2332. arXiv: math/0612137. url: http://dx.doi.org/10.1090/S0002-9939-08-09185-5.

[BM11]

Clemens Berger and Ieke Moerdijk. “On an extension of the notion of Reedy category”. In: Math. Z. 269.3-4 (2011), pp. 977–1004. arXiv: 0809.3341. url: https://doi.org/10.1007/s00209-010-0770-x.

[BR13]

Julia E. Bergner and Charles Rezk. “Reedy categories and the \(\Theta \)-construction”. In: Math. Z. 274.1-2 (2013), pp. 499–514. arXiv: 1110.1066. url: https://doi.org/10.1007/s00209-012-1082-0.

[Doh+24]

Brandon Doherty, Krzysztof Kapulkin, Zachery Lindsey, and Christian Sattler. “Cubical models of \((\infty ,1)\)-categories”. In: Mem. Amer. Math. Soc. 297.1484 (2024), pp. v+110. arXiv: 2005.04853. url: https://doi.org/10.1090/memo/1484.

[Dwy+04]

William G. Dwyer, Philip S. Hirschhorn, Daniel M. Kan, and Jeffrey H. Smith. Homotopy limit functors on model categories and homotopical categories. Vol. 113. Mathematical Surveys and Monographs. American Mathematical Society, Providence, RI, 2004, pp. viii+181. isbn: 0-8218-3703-6. url: https://doi.org/10.1090/surv/113.

[Hir03]

Philip S. Hirschhorn. Model categories and their localizations. Vol. 99. Mathematical Surveys and Monographs. American Mathematical Society, Providence, RI, 2003, pp. xvi+457. isbn: 0-8218-3279-4. url: https://doi.org/10.1090/surv/099.

[Hov99]

Mark Hovey. Model categories. Vol. 63. Mathematical Surveys and Monographs. Providence, RI: American Mathematical Society, 1999, p. xii 209. isbn: 0-8218-1359-5.

[HRY18]

Philip Hackney, Marcy Robertson, and Donald Yau. “On factorizations of graphical maps”. In: Homology Homotopy Appl. 20.2 (2018), pp. 217–238. arXiv: 1705.08546. url: https://doi.org/10.4310/HHA.2018.v20.n2.a11.

[HV]

Philip S. Hirschhorn and Ismar Volic. Functors between Reedy model categories of diagrams. arXiv: 1511.04809.

[MN16]

Ieke Moerdijk and Joost Nuiten. “Minimal fibrations of dendroidal sets”. In: Algebr. Geom. Topol. 16.6 (2016), pp. 3581–3614. arXiv: 1509.01073. url: https://doi.org/10.2140/agt.2016.16.3581.

[RV14]

Emily Riehl and Dominic Verity. “The theory and practice of Reedy categories”. In: Theory Appl. Categ. 29 (2014), pp. 256–301. arXiv: 1304.6871.

[Shu]

Michael Shulman. Reedy categories and their generalizations. arXiv: 1507.01065.