Cyclic Object

Cyclic object は, Connes により [Con83] で cyclic homology の定義を reformulate するために導入された。 Simplicial object の定義で, \(\Delta \) を cyclic category \(\Lambda \) に置き換えるだけである。 例えば, cyclic set とは functor \(\Lambda ^{\op }\to \category{Set}\) のことである。

• cyclic category \(\Lambda \)
• cyclic set

\(\Lambda \) は, 簡単に言えば, \(\Delta \) に morphism として cyclic permutation を追加してできる small category である。よって非負整数と1対1に対応する object を持つ。

このように, cyclic set は simplicial set と良く似ているので, そのホモトピー論も古くから調べられている。Dwyer と Hopkins と Kan [DHK85] は cyclic set の category に model structure を定義し, \(\SO (2)\)-space の category と Quillen equivalent であることを示している。

• cyclic set の幾何学的実現

ただ, Dwyer-Hopkins-Kan の weak equivalence は, underlying space (simplicial set) の weak equivalence で定義されているので, \(\SO (2)\) の作用を考える上ではあまり良くない。それを改良したものとして, Spaliński の [Spa95] がある。そこでは, 有限巡回群の fixed point set の weak equivalence を weak equivalence とした model structure が導入されている。更に, \(\SO (2)\) 全体の fixed point set も考慮したものとして, Blumberg の [Blu] がある。ただし, cyclic set だけでは不十分で, cyclic setと simplicial set を組合せたものを用いているが。

\(\Lambda \) の持つ面白い性質として, self duality がある。

• cyclic category は self dual \(\Lambda ^{\op }\cong \Lambda \)

普通に algebra の cyclic homologyを考える際にはこのことは使わないが, Khalkhali と Rangipour が [KR] で Hopf algebra の Hopf-cyclic homology で興味深い役割を果すことを発見している。

Cyclic object には, 様々な変種がある。 まず知っておくべきなのは, Elmendorf [Elm93] が導入した \(\Lambda \) の “universal cover” のような category である。 同じものは, Fiedorowicz と Loday の [FL91] や Getzler と Jones の [GJ93] にも登場する。Getzler と Jones は, 他に Nistor の [Nis90] も文献として挙げている。 おそらく, Nistor, Fiedorowicz-Loday, Elmendorf により独立に発見されたのだろう。

Elmendorf は, linear categoryと呼んで \(L\) で表しているが, 現在ではその名前や記号はほとんど使われることはない。 Getlzer と Jones が paracyclic category と呼んで, それが普及してしまったようである。記号も, Getzler と Jones の \(\Lambda _{\infty }\) を使うのが普通のようである。 例えば, Dyckerhoff と Kapranov の [DK15] や Nikolaus と Scholze の [NS] は, Getzler-Jones 流の記号に従っている。

• linear category あるいは paracyclic category

同様のものは, Kaygun と Khalkhali [KK10] の Hopf-cyclic homology の定義で使われている。 これについては, Böhm と Ştefan による一連の研究 [BŞ08; BSb; BSa] がある。

Goodwillie は, Waldhausen への手紙の中で epicyclic object という変種を定義した。Burghelea と Fiedorowicz と Gadja [BFG94] により調べられている。 Dundas と Goodwillie と McCarthy の本 [DGM13] や Connes と Consani の [CC15] でも扱われている。

Connes と Consani は archimedean set という拡張も導入している。

• epicyclic object
• archimedean object

References

[BFG94]

D. Burghelea, Z. Fiedorowicz, and W. Gajda. “Power maps and epicyclic spaces”. In: J. Pure Appl. Algebra 96.1 (1994), pp. 1–14. url: http://dx.doi.org/10.1016/0022-4049(94)90081-7.

[Blu]

Andrew J. Blumberg. A discrete model of \(S^1\)-homotopy theory. arXiv: math/0411183.

[BSa]

Gabriella Böhm and Dragos Stefan. A categorical approach to cyclic duality. arXiv: 0910.4622.

[BSb]

Gabriella Böhm and Dragos Stefan. Examples of para-cocyclic objects induced by BD-laws. arXiv: 0801.0033.

[BŞ08]

Gabriella Böhm and Dragoş Ştefan. “(Co)cyclic (co)homology of bialgebroids: an approach via (co)monads”. In: Comm. Math. Phys. 282.1 (2008), pp. 239–286. arXiv: 0705.3190. url: http://dx.doi.org/10.1007/s00220-008-0540-3.

[CC15]

Alain Connes and Caterina Consani. “Projective geometry in characteristic one and the epicyclic category”. In: Nagoya Math. J. 217 (2015), pp. 95–132. arXiv: 1309.0406. url: https://doi.org/10.1215/00277630-2887960.

[Con83]

Alain Connes. “Cohomologie cyclique et foncteurs \(\mathrm{Ext}^{n}\)”. In: C. R. Acad. Sci. Paris Sér. I Math. 296.23 (1983), pp. 953–958.

[DGM13]

Bjørn Ian Dundas, Thomas G. Goodwillie, and Randy McCarthy. The local structure of algebraic K-theory. Vol. 18. Algebra and Applications. Springer-Verlag London, Ltd., London, 2013, pp. xvi+435. isbn: 978-1-4471-4392-5; 978-1-4471-4393-2.

[DHK85]

W. G. Dwyer, M. J. Hopkins, and D. M. Kan. “The homotopy theory of cyclic sets”. In: Trans. Amer. Math. Soc. 291.1 (1985), pp. 281–289. url: http://dx.doi.org/10.2307/1999909.

[DK15]

T. Dyckerhoff and M. Kapranov. “Crossed simplicial groups and structured surfaces”. In: Stacks and categories in geometry, topology, and algebra. Vol. 643. Contemp. Math. Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2015, pp. 37–110. arXiv: 1403.5799. url: http://dx.doi.org/10.1090/conm/643/12896.

[Elm93]

A. D. Elmendorf. “A simple formula for cyclic duality”. In: Proc. Amer. Math. Soc. 118.3 (1993), pp. 709–711. url: http://dx.doi.org/10.2307/2160108.

[FL91]

Zbigniew Fiedorowicz and Jean-Louis Loday. “Crossed simplicial groups and their associated homology”. In: Trans. Amer. Math. Soc. 326.1 (1991), pp. 57–87. url: http://dx.doi.org/10.2307/2001855.

[GJ93]

Ezra Getzler and John D. S. Jones. “The cyclic homology of crossed product algebras”. In: J. Reine Angew. Math. 445 (1993), pp. 161–174. url: http://dx.doi.org/10.1515/crll.1995.466.19.

[KK10]

Atabey Kaygun and Masoud Khalkhali. “Bivariant Hopf cyclic cohomology”. In: Comm. Algebra 38.7 (2010), pp. 2513–2537. arXiv: math/0606341. url: http://dx.doi.org/10.1080/00927870903417695.

[KR]

M. Khalkhali and B. Rangipour. A Note on Cyclic Duality and Hopf Algebras. arXiv: math/0310088.

[Nis90]

V. Nistor. “Group cohomology and the cyclic cohomology of crossed products”. In: Invent. Math. 99.2 (1990), pp. 411–424. url: https://doi.org/10.1007/BF01234426.

[NS]

Thomas Nikolaus and Peter Scholze. On topological cyclic homology. arXiv: 1707.01799.

[Spa95]

Jan Spaliński. “Strong homotopy theory of cyclic sets”. In: J. Pure Appl. Algebra 99.1 (1995), pp. 35–52. url: http://dx.doi.org/10.1016/0022-4049(94)00048-N.