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Cyclic homology の起源は, 2つある。 Connes の noncommutative de Rham theory [Con83]
と Tsygan [Tsy83] による algebraic \(K\)-theory の Lie analogue である。
Connes の本 [Con94] の chapter III に, その motivation から解説してある。 ホモロジー代数的には, Loday
の [Lod98] という本がある。
最初の定義は, 具体的な chain complex の構成を用いたもので, Kaledin [Kal09] によると,
ホモロジー代数とは言えないものである。 その後 cyclic category などを用いて定義が改良されてきたが, Kaledin
にはまだ満足できるものではないようである。
Cyclic homology については, Quillen [Qui89] による presentation を用いた limit としての記述もある。
Cyclic homology に関する Quillen の仕事については, Cuntz による survey [Cun] がある。 Ivanov と
Mikhailov [IM] は, その拡張として limit の derived functor を用いた記述を得ている。 Ginzburg の [Gin]
では, cyclic cohomology の更に別の定義が提案されている。
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cyclic object
- cyclic homology と Hochschild homology に関する Connesのperiodicity sequence
\[ \cdots \longrightarrow HH_n(A) \longrightarrow HC_n(A) \longrightarrow HC_{n-2}(A) \longrightarrow HH_{n-1}(A) \longrightarrow \cdots \]
Park の [Par] は, Connes の periodicity sequence を S. Bloch の higher Chow group
に拡張するものである。Cyclic higher Chow group, そして更に Connes higher Chow group が定義され,
periodicity sequence の存在が示されている。これらの Chow group の cyclic版 に対し, \(\mathbb{A}^1\)-homotopy
invariance も示している。
他の代数的構造に対し拡張 (修正) することも色々考えられている。例えば, Hopf algebra に対しては, Connes と
Moscovici [CM98] による拡張がある。
Ring spectrum へ一般化したものは, topological cyclic homology と呼ばれている。
巡回群を対称群に変えることにより symmetric homology というものが Ault と Fiedorowicz の [AF]
で定義されている。 他にも Loday により [Lod87] で定義された dihedral homologyや quaternionic
homologyがある。
これらは, crossed simplicial group に対して定義される代数の homology と考えることができる。
Kustermans ら [KMT03] の twisted cyclic homology というものもある。Hochschild
homology の twisted version もある。 Hadfield と Krähmer が [HK05; HK10] などで調べている。
また彼らは, [HK09] で braided cyclic homology や braided Hochschild homology
というものも調べている。元々 Baez [Bae94] により導入され Akrami と Majid [AM04] により改良されたものらしい。
References
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[AF]
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Shaun Ault and Zbigniew Fiedorowicz. Symmetric Homology of
Algebras. arXiv: 0708.1575.
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[AM04]
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S. Majid. “Braided cyclic cocycles and nonassociative geometry”. In:
J. Math. Phys. 45.10 (2004), pp. 3883–3911. arXiv: math/0406005.
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In: Trans. Amer. Math. Soc. 344.2 (1994), pp. 885–906. url:
http://dx.doi.org/10.2307/2154514.
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pp. 199–246. url: http://dx.doi.org/10.1007/s002200050477.
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[Con94]
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Alain Connes. Noncommutative geometry. San Diego, CA: Academic
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Tom Hadfield and Ulrich Krähmer. “Braided homology of quantum
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Tom Hadfield and Ulrich Krähmer. “Twisted homology of quantum
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[Lod98]
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13 by the author in collaboration with Teimuraz Pirashvili.
Springer-Verlag, Berlin, 1998, pp. xx+513. isbn: 3-540-63074-0. url:
http://dx.doi.org/10.1007/978-3-662-11389-9.
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[Tsy83]
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