様々なコボルディズム

多様体の構造を適当に指定すれば, cobordism が作れる。まず stable homotopy theory では, 様々な (co)homology theory を作るために各種 coboridism が考えられている。 代表は, complex cobordism であるが。

• unoriented cobordism \(\mathrm {MO}\)
• oriented cobordism \(\mathrm {MSO}\)
• complex cobordism \(\mathrm {MU}\)
• \(\mathrm {MSU}\)
• symplectic cobordism \(\mathrm {MSp}\)
• Spin cobordism \(\mathrm {MSpin}\)
• framed cobordism つまり安定ホモトピー群

これらについては, まず係数群つまり cobordism group を計算することが, 最初の課題である。 \(\mathrm {MO}_{*}\) は Thom [Tho54] により決定されている。Thom は \(\mathrm {MSO}_{*}\otimes \Q \) も決定している。 Milnor [Mil60] と Averbukh [Ave59] により \(\mathrm {MSO}_{*}\) が \(2\)-torsion しか持たないことが示され, 最終的に Wall [Wal60] により決定された。 Adams spectral sequence による計算は, Pengelley [Pen82] による。

\(\mathrm {MU}_{*}\) の graded Abelian group としての決定は, Milnor [Mil60] によるが, 同じ結果は Novikov [Nov60; Nov67] によっても独立に得られている。 Milnor の Adams spectral sequence による計算は 環構造を決定するのにも使えるが。

\(\mathrm {MSU}\) については, Novikov [Nov62] が \(\mathrm {MSU}_{*}\otimes \Z [\frac {1}{2}]\) の記述を与えているが, 計算の詳細は書かれていない。 Chernykh, Limonchenko, Panov による survey [LPC19] もあるが, そこにも書かれていない。 Abramyan [Abr] は完全な証明を与えた, と言っている。

\(\mathrm {MSp}_{*}\) はとても複雑であるが, かつて Kochman が [Koc80; Koc82; Koc93] で調べていた。

\(\mathrm {MSpin}\) については, Anderson, Brown, Peterson の仕事 [ABP66; ABP67] がある。

異なる系統のものとして Real cobordism がある。 Araki [Ara79] と Landweber [Lan68] により導入された。 Atiyah の \(KR\)-theory [Ati66] に対応する cobordism である。 最近 Hu と Kriz により様々な性質が調べられている。 [Hu01; HK01a; HK01b; HK04] など。

• Real cobordism \(M\R \)

Hill と Hopkins と Ravenel の Kervaire invariant one の元の非存在の仕事 [HHR16] で使われている。Real cobordism は \(\mathrm {RO}(\Z /2\Z )\)-graded \(\Z /2\Z \)-equivariant spectrum であるが, Hu と Kriz は [HK16] で, それに更に \(\Z /2\Z \)-action を付加したものを考えている。Karoubi の Hermitian \(K\)-theory や motivic homotopy theory での algebraic Hermitian cobordism と関係があるようである。

写像の cobordism も古くから考えられている。もちろん, cobordism group を homology theory に拡張する際には, 多様体からの連続写像の間の cobordism を考えるが, 可微分多様体の間の可微分写像の cobordism を考えることもできる。

そのような研究としては, まずは, Thom の [Tho54] を挙げるべきだろうか。 Euclid 空間への immersion の cobordism は, Wells の [Wel66] で考えられていて, Thom spectrum のホモトピー群として記述されている。

• immersion の cobordism group

Morse 関数の cobordism を考えているのは, Ikegami や Saeki ら [IS03; Ike04] である。

• Morse 関数の cobordism group

Morse 関数の一般化としては, fold map を考えるのが自然なのだろうか。Fold map の cobordism については, Kalmar [Kal09; Kal] などにより色々調べられている。Eliashberg と Galatius と Mishachev の Mumford conjecture の別証 [EGM11] でも使われている。

他の特異点を持った写像の cobordism も考えられている。もちろん, 特異点を持つ多様体の cobordism も。

• 特異点を持った多様体や写像の cobordism

Smooth fiber bundle 上の differential relation から定義される cobordism を調べているのは, Sadykov の [Sad09] である。

Sutured manifold の cobordism は, Juhász [Juh16] により考えられている。

Word に対する cobordismも考えられている。Turaev の [Tur08] など。Elias と Krasner の [EK10] では, braid 群の word に関する cobordism が用いられている。

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