Kervaire invariant

代数的トポロジーの視点からは, Kervaire invariant と言って思い出すのは, 球面のホモトピー群に関する Kervaire invariant one の元の存在/非存在の問題である。

2009年の代数的トポロジーでの最大のニュースは, やはり Hill と Hopkins と Ravenel [HHR16] によるこの問題の (1つの場合を除いての) 解決だろう。解説としては, 以下のものがある。

• Snaith の [Sna]
• Snaith の本 [Sna09]
• Haynes Miller による Bourbaki Seminar の解説 [Mil]
• Hopkins による Japanese Journal の survey [Hop16]
• Hill, Hopkins, Ravenel の本 [HHR21]

Snaith の解説は, Hopkins や Ravenel によるアナウンスの直前まで彼等とコンタクトを取って書かれたようである。

元々は, Kervaire [Ker60], Browder [Bro69], Ed. Brown, Jr. [Bro72] などによって定義された framed manifold の不変量である。 \(\F _2\) 上のベクトル空間上の二次形式の不変量である Arf invariant と関係がある。

• Arf invariant
• framed manifold に対する Kervaire invariant

球面のホモトピー群との関係は, framed manifold の framed cobordism 群が球面の 安定ホモトピー群になることから得られる。そして球面のホモトピー群で Kervaire invariant one の元が存在するかどうかという問題が考えられるよう になった。

• 球面の安定ホモトピー群の元に対する Kervaire invariant one の問題

この問題は様々な定式化があるが, 最も簡明なのは Adams spectral sequence の \(E_2\)-term で \(h_i^2\) で表わされる元が \(E_{\infty }\)-term まで生き残るかどうか, というものだろう。 これは Hopf invariant one の問題が \(h_i\) が生き残るかどうかと同値で あることを知っていると分かりやすい。 Snaith の解説の§8に, この他にも様々な同値な定式化が述べられている。

Hill, Hopkins, Ravenel によるアプローチでは, equivariant stable homotopy theoryが大きな役割を果している。 そして, その副産物として equivariant stable homotopy theory でも様々な 進展があったようである。 例えば, topological cyclic homology の定義で必要な, topological Hochschild homology spectrum 上の cyclotomic structure の構成については, Angeltveit らの [Ang+18] があるが, その中で Hill-Hopkins-Ravenel の結果が使われている。

Kervaire invariant one の問題へは, Akhmet\('\)ev [Akh]によるア プローチもあるようであるが, Landweber [Lan] により, その中で 使われている Proposition に対する反例が見つけられている。

Kervaire invariant one の問題は, 元々は多様体の構造に関する幾何学的な問 題だったが, Hopf invariant one の問題と同様, Adams spectral sequence の 問題に帰着され, 特に標数2の問題になった。

当然, 奇素数の場合の類似が考えられる。これについては, Ravenel [Rav78] により \(p>3\) の場合は解決されている。 Hopkins の [Hop16] に, \(p=3\) の場合に考えられるアプロー チが書かれている。

References

[Akh]

Petr M. Akhmet’ev. Geometric approach towards stable homotopy groups of spheres. The Kervaire invariant II. arXiv: 0801.1417.

[Ang+18]

Vigleik Angeltveit et al. “Topological cyclic homology via the norm”. In: Doc. Math. 23 (2018), pp. 2101–2163. arXiv: 1401.5001.

[Bro69]

William Browder. “The Kervaire invariant of framed manifolds and its generalization”. In: Ann. of Math. (2) 90 (1969), pp. 157–186. url: https://doi.org/10.2307/1970686.

[Bro72]

Edgar H. Brown Jr. “Generalizations of the Kervaire invariant”. In: Ann. of Math. (2) 95 (1972), pp. 368–383.

[HHR16]

M. A. Hill, M. J. Hopkins, and D. C. Ravenel. “On the nonexistence of elements of Kervaire invariant one”. In: Ann. of Math. (2) 184.1 (2016), pp. 1–262. arXiv: 0908.3724. url: https://doi.org/10.4007/annals.2016.184.1.1.

[HHR21]

Michael A. Hill, Michael J. Hopkins, and Douglas C. Ravenel. Equivariant stable homotopy theory and the Kervaire invariant problem. Vol. 40. New Mathematical Monographs. Cambridge University Press, Cambridge, 2021, p. 870. isbn: 978-1-108-83144-4. url: https://doi.org/10.1017/9781108917278.

[Hop16]

Michael J. Hopkins. “The Kervaire invariant problem”. In: Jpn. J. Math. 11.1 (2016), pp. 1–14. url: https://doi.org/10.1007/s11537-016-0948-z.

[Ker60]

Michel A. Kervaire. “A manifold which does not admit any differentiable structure”. In: Comment. Math. Helv. 34 (1960), pp. 257–270.

[Lan]

Peter S. Landweber. \(K\)-theory of \(S^7/Q_8\) and a counterexample to a result of P.M. Akhmet’ev. arXiv: 1001.4760.

[Mil]

Haynes Miller. Kervaire Invariant One [after M. A. Hill, M. J. Hopkins, and D. C. Ravenel]. arXiv: 1104.4523.

[Rav78]

Douglas C. Ravenel. “The non-existence of odd primary Arf invariant elements in stable homotopy”. In: Math. Proc. Cambridge Philos. Soc. 83.3 (1978), pp. 429–443. url: https://doi.org/10.1017/S0305004100054712.

[Sna]

Victor P. Snaith. The Arf-Kervaire Invariant of framed manifolds. arXiv: 1001.4751.

[Sna09]

Victor P. Snaith. Stable homotopy around the Arf-Kervaire invariant. Vol. 273. Progress in Mathematics. Basel: Birkhäuser Verlag, 2009, pp. xiv+239. isbn: 978-3-7643-9903-0. url: http://dx.doi.org/10.1007/978-3-7643-9904-7.