コボルディズム群

René Thom [Tho54] 考えた cobordism group は, unoriented cobordism と oriented cobordism であるが, Thom は \(\mathfrak{N}_{*}\) と \(\Omega _{*}\) という記号を使っていた。 その後 homology theory に拡張されたので, それらの homology theory を表現する spectrum, つまり Thom spectrum の記号を使うのが良いと思う。

Unoriented cobordism \(\mathrm{MO}_{*}\) は, 既に Thom により決定されているが, その後 Adams spectral sequence を用いた計算が, Liulevicious [Liu63] により行なわれている。 \(H^{*}(\mathrm{MO};\F _{2})\) が Steenrod algebra 上の加群としてきれいな形をしているので, Adams spectral sequence の \(E_{2}\)-term が簡単に分かるのである。

その後, cobordism 群の計算は, Adams spectral sequence による計算が主流になった。 Thom は, oriented cobordism \(\mathrm{MSO}\) を完全に決定することはできな かったが, \(\mathrm{MSO}_{*}\otimes \Q \) が, 4の倍数の次数の元で生成された \(\Q \) 上の多項式環であることは示している。 Torsion が \(2\)-torsion しか無いことを示したのは Milnor [Mil60] であるが, 同じ結果は Averbukh [Ave59] により独立に得られていたようである。 \(\mathrm{MSO}_{*}\) を完全に決定したのは Wall [Wal60] であるが, その後 Pengelley [Pen82b] により Adams spectral sequence による計算が出ているので, 現在ではその計算を見るのが良いだろう。

Complex cobordism \(\mathrm{MU}_{*}\) を決定したのは Milnor [Mil60] と Novikov [Nov60; Nov67] であるが, その方法は, やはり Adams spectral sequence である。 それについては, Ravenel の本 [Rav03] を見るのが良いと思う。

\(\mathrm{MSU}_{*}\) は結構面倒であるが, 分かってはいる。 まず, Novikov [Nov62] が \(\mathrm{MSU}_{*}\otimes \Z [\frac{1}{2}]\) を決定し, Conner と Floyd [CF64] が \(\mathrm{MSU}_{*}\) が \(2\)-torsion しか持たないことを示した。 Adams spectral sequence を用いた \(\mathrm{MSU}_{*}\) の計算を行なったのは, Anderson, Brown, Peterson [ABP66a] である。 また, spectrum level で \(\mathrm{MU}\) と類似の splitting を持つことが, Pengelley [Pen82b; Pen82a] により示されている。 最近, toric topology との関係で, また調べられているようである。 Chernykh, Limonchenko, Panov の survey [LPC19] を見るとよい。

Spin cobordism \(\mathrm{MSpin}_{*}\) については, やはり Anderson, Brown, Peterson の研究 [ABP66b; ABP67] がある。彼等は, \(H^{*}(\mathrm{MSpin};\F _{2})\) を Steenrod algebra 上の加群としての記述を得, それにより \(\mathrm{MSpin}\) のホモトピー型を決定している。 彼等の前には, Milnor [Mil65a; Mil65b] と P.G. Anderson [And66] の試みがあるが。

この手の古典群に対応した cobordism で, 最も難しいのは \(\mathrm{MSp}_{*}\) である。 その歴史については, Anisimov と Vershinin [AV12] の Introduction が詳しい。 それによると, \(\mathrm{MSp}_{*}\otimes \Z [\frac{1}{2}]\) は既に Novikov により決定されていて, その当時から問題は, やはり \(2\)-torsion part であることは, 分かっていた。様々な人が計算を試みたが, 最も精力的に行なったのは, 1970年代から80年代にかけての Kochman [Koc80; Koc82; Koc93] と Vershinin [Ver80; Ver83] の仕事だろう。 Kochman は Adams spectral sequence を, Vershinin は Adams-Novikov spectral sequence を使っている。 残念ながら, \(\mathrm{MSp}_{*}\) は, いまだに決定されていない。 Anisimov と Vershinin [AV12] は, 51 次まで計算したと言っている。

更に難しいのは, framed cobordism である。 Stable homotopy group と同型であるからである。つまり, 係数環は球面の安定ホモトピー群である。

• 球面のホモトピー群

References

[ABP66a]

D. W. Anderson, E. H. Brown Jr., and F. P. Peterson. “\(\mathrm{SU}\)-cobordism, \(\mathrm{KO}\)-characteristic numbers, and the Kervaire invariant”. In: Ann. of Math. (2) 83 (1966), pp. 54–67. url: https://doi.org/10.2307/1970470.

[ABP66b]

D. W. Anderson, E. H. Brown Jr., and F. P. Peterson. “Spin cobordism”. In: Bull. Amer. Math. Soc. 72 (1966), pp. 256–260. url: https://doi.org/10.1090/S0002-9904-1966-11486-6.

[ABP67]

D. W. Anderson, E. H. Brown Jr., and F. P. Peterson. “The structure of the Spin cobordism ring”. In: Ann. of Math. (2) 86 (1967), pp. 271–298. url: https://doi.org/10.2307/1970690.

[And66]

Peter G. Anderson. “Cobordism classes of squares of orientable manifolds”. In: Ann. of Math. (2) 83 (1966), pp. 47–53.

[AV12]

Aleksandr L. Anisimov and Vladimir V. Vershinin. “Symplectic cobordism in small dimensions and a series of elements of order four”. In: J. Homotopy Relat. Struct. 7.1 (2012), pp. 31–152. arXiv: 1202.4954. url: https://doi.org/10.1007/s40062-012-0005-4.

[Ave59]

B. G. Averbuh. “Algebraic structure of cobordism groups”. In: Dokl. Akad. Nauk SSSR 125 (1959), pp. 11–14.

[CF64]

P. E. Conner and E. E. Floyd. “The \(\mathrm{SU}\)-bordism theory”. In: Bull. Amer. Math. Soc. 70 (1964), pp. 670–675. url: https://doi.org/10.1090/S0002-9904-1964-11154-X.

[Koc80]

Stanley O. Kochman. “The symplectic cobordism ring. I”. In: Mem. Amer. Math. Soc. 24.228 (1980), pp. ix+206. url: https://doi.org/10.1090/memo/0228.

[Koc82]

Stanley O. Kochman. “The symplectic cobordism ring. II”. In: Mem. Amer. Math. Soc. 40.271 (1982), pp. vii+170. url: https://doi.org/10.1090/memo/0271.

[Koc93]

Stanley O. Kochman. “Symplectic cobordism and the computation of stable stems”. In: Mem. Amer. Math. Soc. 104.496 (1993), pp. x+88. url: https://doi.org/10.1090/memo/0496.

[Liu63]

A. L. Liulevicius. “A proof of Thom’s theorem”. In: Comment. Math. Helv. 37 (1962/63), pp. 121–131. url: https://doi.org/10.1007/BF02566966.

[LPC19]

I. Yu. Limonchenko, T. E. Panov, and G. S. Chernykh. “\(SU\)-bordism: structure results and geometric representatives”. In: Uspekhi Mat. Nauk 74.3(447) (2019), pp. 95–166. arXiv: 1903.07178. url: https://doi.org/10.4213/rm9883.

[Mil60]

J. Milnor. “On the cobordism ring \(\Omega ^*\) and a complex analogue. I”. In: Amer. J. Math. 82 (1960), pp. 505–521. url: https://doi.org/10.2307/2372970.

[Mil65a]

J. Milnor. “On the Stiefel-Whitney numbers of complex manifolds and of spin manifolds”. In: Topology 3 (1965), pp. 223–230. url: https://doi.org/10.1016/0040-9383(65)90055-8.

[Mil65b]

John W. Milnor. “Remarks concerning spin manifolds”. In: Differential and Combinatorial Topology (A Symposium in Honor of Marston Morse). Princeton, N.J.: Princeton Univ. Press, 1965, pp. 55–62.

[Nov60]

S. P. Novikov. “Some problems in the topology of manifolds connected with the theory of Thom spaces”. In: Soviet Math. Dokl. 1 (1960), pp. 717–720.

[Nov62]

S. P. Novikov. “Homotopy properties of Thom complexes”. In: Mat. Sb. (N.S.) 57 (99) (1962), pp. 407–442.

[Nov67]

S. P. Novikov. “Methods of algebraic topology from the point of view of cobordism theory”. In: Izv. Akad. Nauk SSSR Ser. Mat. 31 (1967), pp. 855–951.

[Pen82a]

David J. Pengelley. “The homotopy type of \(M\mathrm{SU}\)”. In: Amer. J. Math. 104.5 (1982), pp. 1101–1123. url: https://doi.org/10.2307/2374085.

[Pen82b]

David J. Pengelley. “The mod two homology of \(M\mathrm{SO}\) and \(M\mathrm{SU}\) as \(A\) comodule algebras, and the cobordism ring”. In: J. London Math. Soc. (2) 25.3 (1982), pp. 467–472. url: https://doi.org/10.1112/jlms/s2-25.3.467.

[Rav03]

Douglas C. Ravenel. Complex Cobordism and Stable Homotopy Groups of Spheres. 2nd ed. American Mathematical Society, Nov. 2003. isbn: 9780821829677.

[Tho54]

René Thom. “Quelques propriétés globales des variétés différentiables”. In: Comment. Math. Helv. 28 (1954), pp. 17–86. url: https://doi.org/10.1007/BF02566923.

[Ver80]

V. V. Veršinin. “S. P. Novikov’s algebraic spectral sequence for the spectrum \(M\mathrm{Sp}\)”. In: Sibirsk. Mat. Zh. 21.1 (1980), pp. 26–43, 235.

[Ver83]

V. V. Vershinin. “Calculation of the symplectic cobordism ring in dimensions up to \(32\) and the nontriviality of the majority of ternary products of N. Ray’s elements”. In: Sibirsk. Mat. Zh. 24.1 (1983), pp. 50–62, 191.

[Wal60]

C. T. C. Wall. “Determination of the cobordism ring”. In: Ann. of Math. (2) 72 (1960), pp. 292–311. url: https://doi.org/10.2307/1970136.