De Concini と Procesi の “wonderful model”

De Concini と Procesiの “wonderful model” [DP95] とは, subspace arrangementのcomplement の compactification を smooth algebraic variety として実現するものである。解説としては, Feichtner の [Fei05] がよい。

De Concini と Procesi の動機は, Drinfeld [Dri90] による Khnizhnik-Zamolodchikov equation の解を理解することだったようである。 Gaiffi と Serventi の [GS12; GS] によると, その後 subspace arrangement 以外に以下のようなこととの関係が発見されている: toric arrangement, toric variety, moduli spaces of curves, configuration spaces, box splines, index theory, discrete geometry.

Wonderful model の構成の際に用いられる 組み合せ論的構造として重要なのが, building set や nested set である。

• building set
• nested set もしくは nested set complex

Nested set からは, nested set complex, あるいは nested complex と呼ばれる abstract simplicial complex が作られる。Nested complex を一般 の graph に対して定義したのが, graph associahedron と呼ばれるものである。それのさらに一般化が Feichtner と Yuzvinsky の [FY04] にある。Zelevinsky による [Zel06] の最初に, nested complex についての簡単な歴史が書いてある。 Henderson は [Hen04] で species という組み合せ論的構造 (とその変種) を用いている。

Feichtner と Kozlov の [FK04] は, De Concini と Procesi の wonderful model と toric variety の特異点の解消に共通する組み合せ論的な枠組みを整備しようという試みで, combinatorial blowup と いう概念が定義されている。Toric variety との関連では, まず Feichtner と Yuzvinsky の [FY04] という論文を見るべきだろうが。

Nested set complex の性質を調べているのが, Feichtner と Mueller の [FM05] である。Feichtner の [Fei06] では, 上記の toric variety との関連, tropical geometry との関連 [FS05], の他に complex of trees と呼ばれる abstract simplicial complex との関連について述べている。

Feichtner の [Fei05], そして De Concini と Procesi の原論文によると “wonderful model” は, configuration space の Fulton-MacPherson compactification と関係が深い。 要するに, 同時に何枚もの hyperplane (linear subspace) が交わっているとややこしいので, 代数幾何学の blow up のテクニックを用いて, 交わりを単純にしようということである。その際, complement が変わらない, というところがミソである。

実際, genus \(0\) の Riemann面の moduli space の compactification とも関係がある。Rains の [Rai10] など。 Henderson と Rains は, その一般化を [HR08] で考えている。

Wonderful model を用いて complement の rational cohomology を表わしたとき, その algebra structure を 組み合せ論的情報を用いて explicit に記述しようというのが, Yuzvinsky の [Yuz] である。

Wonderful model の toric arrangement版 を Moci が [Moc12] で考えている。

References

[DP95]

C. De Concini and C. Procesi. “Wonderful models of subspace arrangements”. In: Selecta Math. (N.S.) 1.3 (1995), pp. 459–494. url: http://dx.doi.org/10.1007/BF01589496.

[Dri90]

V. G. Drinfel\('\)d. “On quasitriangular quasi-Hopf algebras and on a group that is closely connected with \(\mathrm{Gal}(\overline{\mathbf{Q}}/{\mathbf{Q}})\)”. In: Algebra i Analiz 2.4 (1990), pp. 149–181.

[Fei05]

Eva Maria Feichtner. “De Concini-Procesi wonderful arrangement models: a discrete geometer’s point of view”. In: Combinatorial and computational geometry. Vol. 52. Math. Sci. Res. Inst. Publ. Cambridge: Cambridge Univ. Press, 2005, pp. 333–360. arXiv: math/0403183.

[Fei06]

Eva Maria Feichtner. “Complexes of trees and nested set complexes”. In: Pacific J. Math. 227.2 (2006), pp. 271–286. arXiv: math/0409235. url: http://dx.doi.org/10.2140/pjm.2006.227.271.

[FK04]

Eva-Maria Feichtner and Dmitry N. Kozlov. “Incidence combinatorics of resolutions”. In: Selecta Math. (N.S.) 10.1 (2004), pp. 37–60. arXiv: math/0305154. url: http://dx.doi.org/10.1007/s00029-004-0298-1.

[FM05]

Eva Maria Feichtner and Irene Müller. “On the topology of nested set complexes”. In: Proc. Amer. Math. Soc. 133.4 (2005), 999–1006 (electronic). arXiv: math/0311430. url: http://dx.doi.org/10.1090/S0002-9939-04-07731-7.

[FS05]

Eva Maria Feichtner and Bernd Sturmfels. “Matroid polytopes, nested sets and Bergman fans”. In: Port. Math. (N.S.) 62.4 (2005), pp. 437–468. arXiv: math/0411260.

[FY04]

Eva Maria Feichtner and Sergey Yuzvinsky. “Chow rings of toric varieties defined by atomic lattices”. In: Invent. Math. 155.3 (2004), pp. 515–536. url: http://dx.doi.org/10.1007/s00222-003-0327-2.

[GS]

Giovanni Gaiffi and Matteo Serventi. Families of building sets and regular wonderful models. arXiv: 1210.7688.

[GS12]

Giovanni Gaiffi and Matteo Serventi. “Poincaré series for maximal De Concini-Procesi models of root arrangements”. In: Atti Accad. Naz. Lincei Cl. Sci. Fis. Mat. Natur. Rend. Lincei (9) Mat. Appl. 23.1 (2012), pp. 51–67. arXiv: 1102.5533. url: http://dx.doi.org/10.4171/RLM/616.

[Hen04]

Anthony Henderson. “Representations of wreath products on cohomology of De Concini-Procesi compactifications”. In: Int. Math. Res. Not. 20 (2004), pp. 983–1021. arXiv: math/0307383. url: http://dx.doi.org/10.1155/S1073792804132510.

[HR08]

Anthony Henderson and Eric Rains. “The cohomology of real De Concini-Procesi models of Coxeter type”. In: Int. Math. Res. Not. IMRN 7 (2008), Art. ID rnn001, 29. arXiv: math/0612010. url: http://dx.doi.org/10.1093/imrn/rnn001.

[Moc12]

Luca Moci. “Wonderful models for toric arrangements”. In: Int. Math. Res. Not. IMRN 1 (2012), pp. 213–238. arXiv: 0912.5461.

[Rai10]

Eric M. Rains. “The homology of real subspace arrangements”. In: J. Topol. 3.4 (2010), pp. 786–818. arXiv: math/0610743. url: http://dx.doi.org/10.1112/jtopol/jtq027.

[Yuz]

Sergey Yuzvinsky. Small rational model of subspace complement. arXiv: math/9806143.

[Zel06]

Andrei Zelevinsky. “Nested complexes and their polyhedral realizations”. In: Pure Appl. Math. Q. 2.3, Special Issue: In honor of Robert D. MacPherson. Part 1 (2006), pp. 655–671. arXiv: math/0507277.