他の幾何学的対象の arrangement や埋め込み等の成す空間

超平面配置の一般化としては, まずは, 超曲面などの超平面より一般的な codimension \(1\) の subspace の配置が考えられる。 これらは次のページにまとめた。

• 超平面配置の一般化や変種

Configuration space の一般化としては, 点に限らず, 直線や円周などの, 正の次元を持つものの成す空間を考えることもできる。 例えば, Euclid空間の中の互いに交わらない affine 部分空間 (flat) の成す空間がすぐ思いつくものである。射影空間版も考えられている。 [ABM05; Suá09] など。

大きさを持った disk の configuration は hard disk と呼ばれているらしい。 この MathOverflow のページで, その configuration space の homotopy type が質問されている。Matthew Kahle らが調べているようである。Carlsson と Gorham と Kahle と Mason の [Car+] の Introduction をまず読むとよい。

• configuration space of hard disks

Baryshnikov と Bubenik と Kahle の [BBK14] では, bounded region 内での hard disk の configuration space について, 点の configuration space とホモトピー同値になる半径を求めている。

\(n\) 点の configuration space の元を \(n\) 個の点から成る集合からの写像と思ったとき, その \(n\) 個の点の集合に様々な構造を考えることにより, configuration space に対応した構造が入る。例えば, 定義域を位数 \(n\) の群 \(G\) と考えると, その群の configuration space への作用が考えられる。これは [Kar09] で考えられている。

曲がった部分空間の集合を位相空間と見なすときには, 普通は埋め込みの成す空間として考える。ある意味で, トポロジーにおける moduli space のようなものである。

• 埋め込みのなす空間

\(S^1\) の \(\R ^n\) への埋め込みの成す空間 \(\mathrm {Emb}(S^1,\R ^n)\) や \(\R \) の埋め込みで十分遠くで真っ直ぐになっているもの (long knotという) \(\mathrm {Emb}(\R ,\R ^n)\) は Vassiliev や Kontsevich などの研究により大きく進歩した。

• 結び目の空間

Link していない輪っかや半円の configuration space を考えたものとして Brendle と Hatcher の [BH13] がある。

球面がくっついた branched polymer というものも考えられている。Brydges と Imbre の [BI03] や Kenyon と Winkler の [KW09] など。 Kenyon と Winkler によると, 生物学や化学のモデルとして考えられたらしい。

• branched polymer の空間

Meszaros と Postnikov [MP13] は, 体積が球面の半径に依らないような, branched polymer の空間の改良版を与えている。 そして hyperplane arrangement に対する branched polymer の空間の一般化を考えている。 Braid arrangement の場合が, \(\R ^2\) の中 の branched polymer になる。

単なる smooth embedding ではなく, 様々な幾何学的構造をもつ多様体を考え, それらの構造を保つ埋め込みの空間を考えることも重要である。 Symplectic 多様体については, Biran の [Bir96] などがある。

もう少し条件を緩めて, immersion の成す空間を考えることもできる。Michor と Mumford [MM06] は \(S^1\) の \(\R ^2\) への immersion, つまり平面上の滑らかな閉曲線, の中で回転数が \(0\) でないものの成す空間を, Kodama と Michor [KM06] は回転数 \(0\) のものの成す空間のホモトピー型を決定した。

代数幾何学では, algebraic cycle の成す空間 (variety) が考えられてきた。 代数的トポロジーの対象としても興味深い空間が algebraic cycle から作られる。

• algebraic cycle の成す空間

Configuration space の変種としては, パワーショベルの腕のような, 関節のある腕の成す configuration space も考えられる。

• space of polygons and linkages

グラフの上の点の configuration space を考えている人もいる。

• グラフの configuration space

グラフの configuration space により, グラフの braid群が定義されるが, それは複素平面の configuration space から定義される braid 群と似た性質を持つ。

多項式の成す空間も, configuration space と関係がある。 複素数体上では monic な多項式なら, その根の成す空間と同一視できるからである。もっとも, 重根を持つ場合もあるし, 根の順序の入れ替えにも依らないので, 対称積と関連づけて考えた方がよいが。

• 対称積
• 多項式の成す空間

多項式の空間を調べたものとして, 例えば, Shapiro と Welker の [SW98], Katz, Shapiro, Welker の [KSW], Hyde の [Hyd], Calegari の [Cal] などがある。

対称積と関係のある構成として weighted barycenter の成す空間というものがある。Kallel と Karoui [KK11] によると, Bahri と Coron [BC88] により導入されたらしい。

また, exponential space や Ran space と呼ばれている構成も対称積に近い。 様々な cardinality の configuration space を合わせたものとも考えられるが。

• exponential space や Ran space

他にも, 空間の中の捩れの位置にある直線の配置の問題を考えた Viro と Viro の [VV] などがある。

References

[ABM05]

Jorge L. Arocha, Javier Bracho, and Luis Montejano. “Configurations of flats. I. Manifolds of points in the projective line”. In: Discrete Comput. Geom. 34.1 (2005), pp. 111–128. url: http://dx.doi.org/10.1007/s00454-005-1163-5.

[BBK14]

Yuliy Baryshnikov, Peter Bubenik, and Matthew Kahle. “Min-type Morse theory for configuration spaces of hard spheres”. In: Int. Math. Res. Not. IMRN 9 (2014), pp. 2577–2592. arXiv: 1108.3061. url: https://doi.org/10.1093/imrn/rnt012.

[BC88]

A. Bahri and J.-M. Coron. “On a nonlinear elliptic equation involving the critical Sobolev exponent: the effect of the topology of the domain”. In: Comm. Pure Appl. Math. 41.3 (1988), pp. 253–294. url: http://dx.doi.org/10.1002/cpa.3160410302.

[BH13]

Tara E. Brendle and Allen Hatcher. “Configuration spaces of rings and wickets”. In: Comment. Math. Helv. 88.1 (2013), pp. 131–162. arXiv: 0805.4354. url: https://doi.org/10.4171/CMH/280.

[BI03]

David C. Brydges and John Z. Imbrie. “Branched polymers and dimensional reduction”. In: Ann. of Math. (2) 158.3 (2003), pp. 1019–1039. url: http://dx.doi.org/10.4007/annals.2003.158.1019.

[Bir96]

Paul Biran. “Connectedness of spaces of symplectic embeddings”. In: Internat. Math. Res. Notices 10 (1996), pp. 487–491. arXiv: dg-ga/ 9603008. url: http://dx.doi.org/10.1155/S1073792896000323.

[Cal]

Danny Calegari. Sausages and Butcher Paper. arXiv: 2105.11265.

[Car+]

Gunnar Carlsson, Jackson Gorham, Matthew Kahle, and Jeremy Mason. Computational topology for configuration spaces of hard disks. arXiv: 1108.5719.

[Hyd]

Trevor Hyde. Euler characteristic of the space of real multivariate irreducible polynomials. arXiv: 2011.05572.

[Kar09]

R. N. Karasev. “The genus and the category of configuration spaces”. In: Topology Appl. 156.14 (2009), pp. 2406–2415. arXiv: 0905.0555. url: https://doi.org/10.1016/j.topol.2009.06.012.

[KK11]

Sadok Kallel and Rym Karoui. “Symmetric joins and weighted barycenters”. In: Adv. Nonlinear Stud. 11.1 (2011), pp. 117–143. arXiv: math/0602283. url: https://doi.org/10.1515/ans-2011-0106.

[KM06]

Hiroki Kodama and Peter W. Michor. “The homotopy type of the space of degree 0-immersed plane curves”. In: Rev. Mat. Complut. 19.1 (2006), pp. 227–234. arXiv: math/0509694. url: https://doi.org/10.5209/rev_REMA.2006.v19.n1.16660.

[KSW]

Gabriel Katz, Boris Shapiro, and Volkmar Welker. Real polynomials with constrained real divisors. I. Fundamental groups. arXiv: 1908. 07941.

[KW09]

Richard Kenyon and Peter Winkler. “Branched polymers”. In: Amer. Math. Monthly 116.7 (2009), pp. 612–628. arXiv: 0709.2325. url: http://dx.doi.org/10.4169/193009709X458582.

[MM06]

Peter W. Michor and David Mumford. “Riemannian geometries on spaces of plane curves”. In: J. Eur. Math. Soc. (JEMS) 8.1 (2006), pp. 1–48. arXiv: math / 0312384. url: http://dx.doi.org/10.4171/JEMS/37.

[MP13]

Karola Mészáros and Alexander Postnikov. “Branched polymers and hyperplane arrangements”. In: Discrete Comput. Geom. 50.1 (2013), pp. 22–38. arXiv: 0909.4547. url: https://doi.org/10.1007/s00454-013-9499-8.

[Suá09]

Pablo Suárez-Serrato. “Affine configurations and pure braids”. In: Discrete Comput. Geom. 41.1 (2009), pp. 177–181. arXiv: math/ 0601476. url: https://doi.org/10.1007/s00454-008-9069-7.

[SW98]

Boris Shapiro and Volkmar Welker. “Combinatorics & topology of stratifications of the space of monic polynomials with real coefficients”. In: Results Math. 33.3-4 (1998), pp. 338–355. arXiv: math/9609211. url: http://dx.doi.org/10.1007/BF03322093.

[VV]

Julia Viro and Oleg Viro. Configurations of skew lines. arXiv: math/ 0611374.