超平面配置の一般化や変種

Euclid空間の codimension \(1\) の affine subspace の集まりが hyperplane arrangement であるが, この単純な定義は, 様々な方向に一般化されている。

Ziegler により [Zie89] で導入されたものとして multiarrangement というものがある。各超平面に重複度を付加したものである。

• multiarrangement

Hyperplane arrangement の intersection lattice を2色に「色付け」したも のを bi-arrangement といって Dupont [Dup17] が導入している。

• bi-arrangement

超平面は, 「真っ直ぐ」な余次元 \(1\) の部分空間であるが, そのような部分空間は Euclid 空間以外でも考えることができる。 例えば, 双曲幾何とか。 これは, hyperbolic reflection groupとの関係で調べられているようである。

• hyperbolic hyperplane arrangement と hyperbolic reflection group

他にも, torus の中の余次元 \(1\) の torus は, 超平面の類似と考えてよいだろう。

• toric arrangement

似たものとして, elliptic curve \(E\) の直積 \(E^n\) の中の “hyperplane” の arrangement も考えられている。ここでの “hyperplane” とは, 準同型 \(E^n\to E\) の fiber のことである。Levin と Varchenko の [LV12], Denham と Suciu と Yuzvinsky の [DSY16] など。 また, elliptic curve の直積は abelian variety なので, abelian variety の中の codimension 1 subvariety の成す arrangement と考えることもできる。Bibby の[Bib16] では, そのようなものは abelian arrangement と呼ばれている。

• elliptic arrangement
• abelian arrangement

Bibby とHilburn [BH16] は, グラフから作られる abelian arrangement の complement の rantional homotopy type について考えている。

Tran と Yoshinaga [TY19] は, Abelian Lie group の arrangement を考えることを提案している。

トーラス上の tropical hyperplane の arrangement を考えている人もいる。Oriented matroid の類似もあるようである。Ardila と Develin の [AD09] や Dochtermann, Joswig, Sanyal の [DJS12] など。

• tropical hyperplane arrangement

有限体や \(\Z \) 上の hyperplane arrangement も考えられている。Kamiya と Takemuara と Terao の [KTT08; KTT10] など。

もちろん, 真っ直ぐでない一般の部分空間を考えることも, 行なわれている。

まず oriented matroid との関係で知っておくべきなのは, pseudoline や pseudosphere の arrangement である。

• pseudosphere や pseudohyperplane の arrangement

曲線の arrangement, 特に平面曲線の arrangement は, incidence geometry の観点から, 組み合せ論的に調べることができる。Pokora と Römer の [PR22] など。

• plane curve arrangement

他にも, 多様体の中の部分多様体の成す arrangement も色々考えられている。

• submanifold や subvariety の arrangement

References

[AD09]

Federico Ardila and Mike Develin. “Tropical hyperplane arrangements and oriented matroids”. In: Math. Z. 262.4 (2009), pp. 795–816. arXiv: 0706.2920. url: http://dx.doi.org/10.1007/s00209-008-0400-z.

[BH16]

Christin Bibby and Justin Hilburn. “Quadratic-linear duality and rational homotopy theory of chordal arrangements”. In: Algebr. Geom. Topol. 16.5 (2016), pp. 2637–2661. arXiv: 1409.6748. url: https://doi.org/10.2140/agt.2016.16.2637.

[Bib16]

Christin Bibby. “Cohomology of abelian arrangements”. In: Proc. Amer. Math. Soc. 144.7 (2016), pp. 3093–3104. arXiv: 1310.4866. url: https://doi.org/10.1090/proc/12937.

[DJS12]

Anton Dochtermann, Michael Joswig, and Raman Sanyal. “Tropical types and associated cellular resolutions”. In: J. Algebra 356 (2012), pp. 304–324. arXiv: 1001 . 0237. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.jalgebra.2011.12.028.

[DSY16]

Graham Denham, Alexander I. Suciu, and Sergey Yuzvinsky. “Combinatorial covers and vanishing of cohomology”. In: Selecta Math. (N.S.) 22.2 (2016), pp. 561–594. arXiv: 1411.7981. url: https://doi.org/10.1007/s00029-015-0196-8.

[Dup17]

Clément Dupont. “Relative cohomology of bi-arrangements”. In: Trans. Amer. Math. Soc. 369.11 (2017), pp. 8105–8160. arXiv: 1410. 6348. url: https://doi.org/10.1090/tran/6904.

[KTT08]

Hidehiko Kamiya, Akimichi Takemura, and Hiroaki Terao. “Periodicity of hyperplane arrangements with integral coefficients modulo positive integers”. In: J. Algebraic Combin. 27.3 (2008), pp. 317–330. arXiv: math/ 0703904. url: http://dx.doi.org/10.1007/s10801-007-0091-2.

[KTT10]

Hidehiko Kamiya, Akimichi Takemura, and Hiroaki Terao. “The characteristic quasi-polynomials of the arrangements of root systems and mid-hyperplane arrangements”. In: Arrangements, local systems and singularities. Vol. 283. Progr. Math. Basel: Birkhäuser Verlag, 2010, pp. 177–190. arXiv: 0707.1381.

[LV12]

Andrey Levin and Alexander Varchenko. “Cohomology of the complement to an elliptic arrangement”. In: Configuration spaces. Vol. 14. CRM Series. Ed. Norm., Pisa, 2012, pp. 373–388. arXiv: 1106.5735. url: https://doi.org/10.1007/978-88-7642-431-1_17.

[PR22]

Piotr Pokora and Tim Römer. “Algebraic properties of Levi graphs associated with curve arrangements”. In: Res. Math. Sci. 9.2 (2022), Paper No. 30, 17. arXiv: 2201 . 11788. url: https://doi.org/10.1007/s40687-022-00325-3.

[TY19]

Tan Nhat Tran and Masahiko Yoshinaga. “Combinatorics of certain abelian Lie group arrangements and chromatic quasi-polynomials”. In: J. Combin. Theory Ser. A 165 (2019), pp. 258–272. arXiv: 1805. 03365. url: https://doi.org/10.1016/j.jcta.2019.02.003.

[Zie89]

Günter M. Ziegler. “Multiarrangements of hyperplanes and their freeness”. In: Singularities (Iowa City, IA, 1986). Vol. 90. Contemp. Math. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 1989, pp. 345–359.