Pseudosphere and Pseudohyperplane Arrangements

超平面配置の一般化として, oriented matroid との関連で重要なのは, pseudosphere や pseudohyperplane の arrangement である。

5人組の oriented matroid の本 [Bjö+99] の第5章と第6章に書いてある。 Deshpande [Des16] が調べている pseudohyperplane の arrangement もある。更に, それを一般化した deformed hyperplane arrangement, 略して dehyperplane arrangment という構造を導入して調べている人 [Rana; Ranb] もいる。

• arrangement of pseudolines
• arrangement of pseudohyperplanes
• arrangement of pseudospheres
• dehyperplane arrangment

全ての oriented matroid が pseudosphere arrangement で表現できるというのが, Folkman と Lawrence の topological representation theorem [FL78] である。

• oriented matroid の topological representation theorem

Pseudoline arrangement は, 例えば Pilaud らの多面体の三角形分割や sorting network に関する仕事 [PP12] の中で使われている。

以上は Euclid空間や球面での pseudoline や pseudosphere の arrangement であるが, 曲面上の pseudocircle arrangement も考えられている。 Colin de Verdière, Medina, Roldán-Pensado, Salazar の [Col+20] によると Grünbaum により [Grü72] で導入されたらしい。

• 曲面上の pseudocircle arrangment

References

[Bjö+99]

Anders Björner, Michel Las Vergnas, Bernd Sturmfels, Neil White, and Günter M. Ziegler. Oriented matroids. Second. Vol. 46. Encyclopedia of Mathematics and its Applications. Cambridge: Cambridge University Press, 1999, pp. xii+548. isbn: 0-521-77750-X. url: http://dx.doi.org/10.1017/CBO9780511586507.

[Col+20]

Éric Colin de Verdière, Carolina Medina, Edgardo Roldán-Pensado, and Gelasio Salazar. “Embeddability of arrangements of pseudocircles and graphs on surfaces”. In: Discrete Comput. Geom. 64.2 (2020), pp. 386–395. arXiv: 1704.07688. url: https://doi.org/10.1007/s00454-019-00126-6.

[Des16]

Priyavrat Deshpande. “On arrangements of pseudohyperplanes”. In: Proc. Indian Acad. Sci. Math. Sci. 126.3 (2016), pp. 399–420. arXiv: 1201.1306. url: https://doi.org/10.1007/s12044-016-0286-3.

[FL78]

Jon Folkman and Jim Lawrence. “Oriented matroids”. In: J. Combin. Theory Ser. B 25.2 (1978), pp. 199–236. url: http://dx.doi.org/10.1016/0095-8956(78)90039-4.

[Grü72]

Branko Grünbaum. Arrangements and spreads. Conference Board of the Mathematical Sciences Regional Conference Series in Mathematics, No. 10. American Mathematical Society Providence, R.I., 1972, pp. iv+114.

[PP12]

Vincent Pilaud and Michel Pocchiola. “Multitriangulations, pseudotriangulations and primitive sorting networks”. In: Discrete Comput. Geom. 48.1 (2012), pp. 142–191. arXiv: 1009.5344. url: http://dx.doi.org/10.1007/s00454-012-9408-6.

[Rana]

Hery Randriamaro. Face Counting for Topological Hyperplane Arrangements. arXiv: 2003.02241.

[Ranb]

Hery Randriamaro. The Varchenko Matrix for Dehyperplane Arrangement. arXiv: 2007.09048.