Oriented Matroids

Bandelt と Chepoi と Knauer の [BCK18] によると, oriented matroid は Bland と Las Vergnas [BL78] と Folkman と Lawrence [FL78] により同時に発見された概念のようである。 Gel\('\)fand と MacPherson の論文 [GM92] では, oriented matroid の解説として Björner と Las Vergnas と Sturmfels と White と Ziegler の [Bjö+99]が推薦されている。Oriented matroid を勉強するからには, とりあえずこの本は読んでおくべきだろう。ただ oriented matroid に関係した分野は多岐に渡り, この本も様々な話題をまとめたものになっている。 Richter-Gebert と Ziegler の解説 [RZ97] で概観を掴んでから, 5人組の本の興味を持った部分を読むのがよいかもしれない。 Ziegler による oriented matroid に関する “Dynamic Survey” もある。5人組の本の update も含まれている。

具体的なデータに基づいたものとしては, Bokowski の [Bok06] がある。 Haskel の script で具体的な oriented matroid に関するデータを計算しながら読むようになっている。カラー写真などの図も豊富である。

• matroid と oriented matroid の基本

私は, 実超平面配置の Salvetti complex の構成を理解しようとして oriented matroid を知ったが, 他にも多面体とか, quiver とか様々な「向きの付いた」構造から oriented matroid が定義される。それらに対する概念が oriented matroid に一般化されることも多い。そして, それらに対する不変量が matroid や oriented matroid に一般化されることも多い。

• invariants of matroids

Oriented matroid の中で, 全ての base が positive orientation を持つものを, 1987 年の thesis で da Silva が positively oriented matroid として定義している。

• positively oriented matroid

Positivity と関係したものでは, Postnikov が [Pos] で導入した positroid があるが, この2つが同値であることは Ardila, Rincón, Williams の [ARW17] で証明されている。

• positroid

Benedetti と Knauer [BK] によると, 同じ概念は Postnikov の仕事より前に Blum の [Blu01] にも現れているようである。

References

[ARW17]

Federico Ardila, Felipe Rincón, and Lauren Williams. “Positively oriented matroids are realizable”. In: J. Eur. Math. Soc. (JEMS) 19.3 (2017), pp. 815–833. arXiv: 1310 . 4159. url: https://doi.org/10.4171/JEMS/680.

[BCK18]

Hans-Jürgen Bandelt, Victor Chepoi, and Kolja Knauer. “COMs: complexes of oriented matroids”. In: J. Combin. Theory Ser. A 156 (2018), pp. 195–237. arXiv: 1507.06111. url: https://doi.org/10.1016/j.jcta.2018.01.002.

[Bjö+99]

Anders Björner, Michel Las Vergnas, Bernd Sturmfels, Neil White, and Günter M. Ziegler. Oriented matroids. Second. Vol. 46. Encyclopedia of Mathematics and its Applications. Cambridge: Cambridge University Press, 1999, pp. xii+548. isbn: 0-521-77750-X. url: http://dx.doi.org/10.1017/CBO9780511586507.

[BK]

Carolina Benedetti and Kolja Knauer. Lattice path matroids and quotients. arXiv: 2202.11634.

[BL78]

Robert G. Bland and Michel Las Vergnas. “Orientability of matroids”. In: J. Combinatorial Theory Ser. B 24.1 (1978), pp. 94–123. url: https://doi.org/10.1016/0095-8956(78)90080-1.

[Blu01]

Stefan Blum. “Base-sortable matroids and Koszulness of semigroup rings”. In: European J. Combin. 22.7 (2001), pp. 937–951. url: https://doi.org/10.1006/eujc.2001.0516.

[Bok06]

Jürgen G. Bokowski. Computational oriented matroids. Equivalence classes of matrices within a natural framework. Cambridge: Cambridge University Press, 2006, pp. xiv+323. isbn: 978-0-521-84930-2; 0-521-84930-6.

[FL78]

Jon Folkman and Jim Lawrence. “Oriented matroids”. In: J. Combin. Theory Ser. B 25.2 (1978), pp. 199–236. url: http://dx.doi.org/10.1016/0095-8956(78)90039-4.

[GM92]

I. M. Gel\('\)fand and R. D. MacPherson. “A combinatorial formula for the Pontrjagin classes”. In: Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.) 26.2 (1992), pp. 304–309. arXiv: math/9204231. url: http://dx.doi.org/10.1090/S0273-0979-1992-00282-3.

[Pos]

Alexander Postnikov. Total positivity, Grassmannians, and networks. arXiv: math/0609764.

[RZ97]

Jürgen Richter-Gebert and Günter M. Ziegler. “Oriented matroids”. In: Handbook of discrete and computational geometry. CRC Press Ser. Discrete Math. Appl. Boca Raton, FL: CRC, 1997, pp. 111–132.