Arrangements of Submanifolds and Subvarieties

超平面の arrangement の一般化を考える方向として, Euclid 空間や射影空間を他の多様体に変えるというのは, 自然なアイデアであり, 様々な人が考えている。

まず, 入れ物としての Euclid 空間や射影区間はそのままで, 部分空間として, 超曲面 を考えた場合として, Libgober の講義ノート [Lib07] がある。Libgoberは, 高次ホモトピー群も調べていて, 興味深い。

もちろん, 基本群を決定することも難しい。\(\CP ^2\) の中の曲線の complement については, Amram と Teicher などのグループが調べている。[ATU03; AT06] など。

射影空間の中の line arrangement については, [Zar29; CDP05; Din11] などがある。[Urz10] では射影空間の中の curve arrangement が考えられている。実射影空間の中の simple closed curve を double pseudoline と呼んで, その arrangement を考えているのは, Habert と Pocchiola [HP13] である。Urzúa [Urz11] は, 代数曲線上の \(\mathbb {P}^1\)-bundle の section の arrangement を考えている。

Kohno は [Koh83a; Koh83b] で complex hypersurface complement の \(\Q \)係数の cohomologyでは, 全ての higher Massey product が消えることを示したが, Matei は [Mat06] で \(\F _p\) 係数では, 一般には自明でない Massey product があることを示した。

Dimca と Maxim は, [DM07] で hypersurface arrangement の complement の Alexander invariant などについて調べている。

Subvariety の complement としては, 他には Vassiliev [Vas] が調べている多項式系 の resultant の complement がある。

Hyperbolic manifold の中の codimension \(1\) submanifold の complement を考えている人 [Bel12] もいる。

Deshpande [Des] は, 実codimension \(1\) submanifold の arrangement を考え, その“複素化”として, tangent bundle を考えることを提案している。他にも manifold arrangement を考えているものとして, Shnurnikov の [Shn] や Ehrenborg と Readdy の[ER14] がある。

• submanifold arrangement

超平面配置の複素化に対しては, そのcomplement のホモトピー型を表わす Salvetti complex があるが, Deshpande はその一般化も構成している。 元の submanifold arrangement が regular cell decomposition を与える場合であるが。

Chen と Lü と Wu [CLW] は, Orlik-Solomon algebra の類似を構成している。

References

[AT06]

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[ATU03]

Meirav Amram, Mina Teicher, and A. Muhammed Uludag. “Fundamental groups of some quadric-line arrangements”. In: Topology Appl. 130.2 (2003), pp. 159–173. arXiv: math/0208248. url: http://dx.doi.org/10.1016/S0166-8641(02)00218-3.

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[Vas]

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