Hyperbolic arrangement と関連した話題

Euclid幾何の他に, 古典的な幾何学としては, 球面上の幾何と双曲幾何がある。 「超平面」が考えられるので, Euclid空間の超平面配置 の真似事をすることができる。

球面の大円は, その球面と球面の中心を通る平面との交わりであり, Euclid 空間の central arrangement と球面の大円の arrangement が1対1に 対応する。 双曲面の大円も, 原点を通る平面と双曲面との交わりであるが, 球面の場合と異なり, 原点を通る平面全てが双曲面と交わるわけではない。 また, 双曲幾何の場合, 双曲面上で考えるより, Poincaré disk や上半平面などの, 平面モデルで考えるのが普通である。

双曲幾何での超平面配置は, hyperbolic reflection group との関係で調べられているようである。

• hyperbolic reflection group

文献としては, Vinberg の [Vin85; Vin93] や Nikulin の [Nik] をまず見るのがよいのだろうか。

Belolipetsky [Bel11] の最後に書いてあるように, complex reflection group の類似, complex hyperbolic reflection group もある。 Belolipetsky は, Deligne と Mostow の [DM93] を参照している。

• complex hyperbolic reflection group

また, reflection group が定義できるということは, braid群の類似も定義で きる。Allcock [All09] は, monster との関係を予想していて興味深い。 その予想に関連して, Basak との共著 [AB16; AB] でそのような braid-like group の生成元について調べている。

• complex hyperbolic braid group

References

[AB]

Daniel Allcock and Tathagata Basak. Generators for a complex hyperbolic braid group. arXiv: 1702.05707.

[AB16]

Daniel Allcock and Tathagata Basak. “Geometric generators for braid-like groups”. In: Geom. Topol. 20.2 (2016), pp. 747–778. arXiv: 1403.2401. url: https://doi.org/10.2140/gt.2016.20.747.

[All09]

Daniel Allcock. “A monstrous proposal”. In: Groups and symmetries. Vol. 47. CRM Proc. Lecture Notes. Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2009, pp. 17–24. arXiv: math/0606043. url: https://doi.org/10.1090/crmp/047/03.

[Bel11]

Mikhail Belolipetsky. “Finiteness theorems for congruence reflection groups”. In: Transform. Groups 16.4 (2011), pp. 939–954. arXiv: 1008.0934. url: http://dx.doi.org/10.1007/s00031-011-9156-3.

[DM93]

Pierre Deligne and G. Daniel Mostow. Commensurabilities among lattices in \({\rm PU}(1,n)\). Vol. 132. Annals of Mathematics Studies. Princeton University Press, Princeton, NJ, 1993, pp. viii+183. isbn: 0-691-00096-4. url: https://doi.org/10.1515/9781400882519.

[Nik]

Viacheslav V. Nikulin. Finiteness of the number of arithmetic groups generated by reflections in Lobachevsky spaces. arXiv: math/0609256.

[Vin85]

È. B. Vinberg. “Hyperbolic groups of reflections”. In: Uspekhi Mat. Nauk 40.1(241) (1985), pp. 29–66, 255.

[Vin93]

È. B. Vinberg, ed. Geometry. II. Vol. 29. Encyclopaedia of Mathematical Sciences. Spaces of constant curvature, A translation of Geometriya. II, Akad. Nauk SSSR, Vsesoyuz. Inst. Nauchn. i Tekhn. Inform., Moscow, 1988, Translation by V. Minachin [V. V. Minakhin]. Berlin: Springer-Verlag, 1993, pp. viii+254. isbn: 3-540-52000-7.