Exponential space と Ran space

位相空間 \(X\) に対し, その有限部分集合を元とする空間を構成する方法には様々なものがある。 例えば, configuration space や symmetric product などである。これらは, 同じ cardinality のものを集めてできたものであるが, 異なる cardinality の有限部分集合を集めることも考えられている。Exponential space や Ran space などと呼ばれているものである。 Nakandakari と Tsukuda の [NT] では, symmetric potency と呼ばれている。 この用語は, Borsuk の [Bor49] で使われている。 他にも, [Bla] や [Mol57] のように symmetric product と呼んでいる文献もあるが, これはまぎらわしい。 ここでは exponential space と呼ぶことにしよう。

Lurie の [Lur] では, \(X\) が連結ではないときは \(X\) の各連結成分と交わる有限部分集合の集合として定義されている。

• \(X\) の exponential space \(\exp (X)\)
• \(k\in \N \) に対し cardinality \(k\) 以下の部分集合の成す部分空間 \(\exp _k(X)\)

Beilinson と Drinfel\('\)d の [BD04] によると, 最初にこのような空間を考えたのは Borsuk と Ulam [BU31] らしい。 彼等は, chiral algebra を sheaf として定義するための底空間として exponential space を用いている。 そのような 代数幾何学的な利用を考えたのは Ziv Ran [Ran93; Ran00] らしい。

Cepek と Lejay [CL] によると, その位相には3つの選択肢がある。Beilinson と Drinfel\('\)d の [BD04] で使われている colimit topology, Lurie の [Lur] で使われているもの, そして Costello と Gwilliam [CG17] により factorization algebra を定義するために使われているもの, の3つである。 Exponential space の位相については, この Cepek と Lejay の論文を見るのが良いと思う。

Francis と Gaitsgory [FG12] の言うように, scheme に対して exponential space を scheme として定義するのは無理がある。彼等の考えているように, 有限集合のなす category の opposite category からの functor として考えるのが良さそうである。そして exponential space そのものよりも, その上の sheaf の category を定義すべきだろう。 Exponential space の上の sheaf については, Yanagida の [Yan] の §1.2 にもまとめられている。

Cardinality に制限を付けない \(\exp (X)\) については, この Beilinson と Drinfel\('\)d の本の §3.4 にいくつかの性質がまとめられている。 Lurie の [Lur] の §3.3 にも基本的な性質が書かれている。

• \(X\) が 距離空間のときには, \(\exp (X)\) の位相は Hausdorff 距離により定まる位相と一致する。
• \(X\) が連結な多様体ならば, \(\exp (X)\) は weakly contractible である。

また Curtis と Nguyen [CT85] により, \(X\) が距離空間のとき, \(\exp (X)\) が \(\ell ^2\) の有限個の座標を除いて \(0\) である元の成す部分ベクトル空間と同相になる条件が求められている。

一方 cardinality に制限をつけた \(\exp _{k}(X)\) については, Rose の [Rosa] によると, まず Handel の [Han00] を見ると良いようである。 位相について詳しく調べられている。 歴史については, Tuffley の [Tuf03] の §1.2 を見るとよい。

\(S^1\) の位数 \(3\) 以下の部分集合の exponential space \(\exp _3(S^1)\) については, Borsuk [Bor49] が最初に調べ, \(S^{1}\times S^{2}\) と同相になると主張しているが, 残念ながら, これは間違いである。 正解は \(S^3\) であるが, それを最初に証明したのは, Bott [Bot52] らしい。Rose の [Rosa] ではその別証が与えられている。他にも Mostovoy [Mos04] による別証もあることは, この研究集会での, 琉球大学の佃さんの講演で知った。

• \(\exp _3(S^1)\cong S^3\)

さらにその同相で同一視した時, 包含写像 \[ S^1 = \exp _1(S^1) \hookrightarrow \exp _3(S^1) \cong S^3 \] は, trefoil knot になっているようで興味深い。 これは, Tuffley の論文 [Tuf02] に書かれているが, Nakandakari と Tsukuda の [NT; NT20] では, Shchepin の unpublished result となっている。Tuffley は, その論文で \(\exp _k(S^1)\) のホモトピー型を決定している。

• \(\exp _{2k+1}(S^1)\simeq S^{2k+1}\)
• \(\exp _{2k}(S^1) \simeq S^{2k-1}\)

Tuffly は, 他にも [Tuf03; Tuf04; Tuf] などで exponential space について調べている。

\(n\ge 2\) の \(S^{n}\) の exponential space については, Rose が [Rosb] でコホモロジーを調べている。

Tuffly の [Tuf04] などで調べられている連結性に関する結果の拡張は, Mostovoy と Sadykov [MS12] で考えられている。

(Cardinality に制限の無い) exponential space の用途としては, Beilinson と Drinfel\('\)d にある chiral algebra の定義, そして, その Lurie [Lur09; Lur] による拡張が興味深い。Beilinson と Drinfel\('\)d の chiral homology を拡張して topological chiral homology を定義し, それにより extended topological quantum field theory ができると言っている。

解析の視点からも調べられている。例えば, Albeverio らの [AKR98a; AKR98b; Alb+00; ADL01b; ADL01a] などがある。

有限 (離散) 部分集合ではなく, compact subset や closed subset に拡張したものは, [NR10] では hyperspace と呼ばれている。

• hyperspace

位相は, Vietoris topology と呼ばれるものを入れる。その構成は compact Hausdorff space の圏から compact Hausdorff space の圏への functor になっているようである。

更に包含関係により partial order を定義して topological poset とみなしたものは, Živaljević の論文 [Živ98] では, subspace poset と呼ばれている。

他にも, closed subset の集合上の位相としては, Chabauty topology [Cha50] と呼ばれるものがある。Biringer [Bir18] で, その metrizability が調べられている。

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