Algebraic cycle の成す空間

Algebraic cycle は, 代数幾何学における伝統的な研究対象であるが, 複素数体や実数体上の代数多様体の場合, algebraic cycle 全体の成す空間を作ることができるので, そのトポロジーを調べることができる。 例えば, Blaine Lawson [Law89] は, algebraic cycle の無す空間のホモトピー群を, その代数多様体のホモロジーとみなすことを, 提案している。

• Lawson homology (morphic homology) とその変種

ある意味で configuration spaceや symmetric product の高次元版のようなものであり, Dold-Thom の定理とも関係が深い。

90年代以降, その研究を出発点として algebraic cycle やそれに類する代数幾何学的対象の成す空間のトポロジーの研究が発展している。

W. Hu は [Hu10] で, 射影空間の Chow variety の ホモトピー群の stability について調べている。

Farb と Wolfson と Wood [FWW19] は, 対称積を用いて, 代数多様体とは限らない多様体の \(0\)-cycle の成す空間を定義している。そして, それを用いて homological density という不変量を定義している。

• homological density

解析 数論とのアナロジーで導入されたようで, 興味深い。

References

[FWW19]

Benson Farb, Jesse Wolfson, and Melanie Matchett Wood. “Coincidences between homological densities, predicted by arithmetic”. In: Adv. Math. 352 (2019), pp. 670–716. arXiv: 1611.04563. url: https://doi.org/10.1016/j.aim.2019.06.016.

[Hu10]

Wenchuan Hu. “Algebraic cycles of a fixed degree”. In: Proc. Amer. Math. Soc. 138.7 (2010), pp. 2365–2373. arXiv: 0810.2840. url: https://doi.org/10.1090/S0002-9939-10-10311-6.

[Law89]

H. Blaine Lawson Jr. “Algebraic cycles and homotopy theory”. In: Ann. of Math. (2) 129.2 (1989), pp. 253–291. url: http://dx.doi.org/10.2307/1971448.