凸集合

Euclid空間の部分空間で凸になっているものは, 扱いが楽である。例えば, Euclid 単体的複体や, より一般に 凸多面体を貼り合せてできているものは, それぞれの凸多面体上で写像やホモトピーを作ってから貼り合せればよいが, 凸多面体上では内分点を取ることができるので, ホモトピーを作るのが楽である。

• 凸多面体

Kahn と Kalai の Borsuk 予想の反例 [KK93] のように, Euclid 空間の凸集合でも直感に反することが色々起きるようで面白い。この Borsuk 予想に関係したことについては, この Kalai の blog post を見るとよい。

• Borsuk 予想

有限次元実ベクトル空間の compact convex subset は convex body と呼ばれるようである。 Bonnesen と Fenchel の [BF87], Burago と Zalgaller の [BZ88], Schneider の [Sch14] などのの本がある。

• convex body

凸多面体については scissors congruence group の高次版が, Zakharevich [Zak12; Zak13; Zak17] により構成されているが, その convex body 版を Hepworth [Hep23] が考えようとしている。

凸集合は, Euclid空間の部分空間に限らず抽象的に定義することができる。 例えば, 位相のように, ある条件をみたす部分集合の族として convexity を定義している人がいる。Kenney [Ken23] によると, そのような定義の最初は, Kay と Womble [KW71] によるもののようである。 現在では, Dawson [Daw87] の定義を用いるのが普通のようである。 Kenney は, 更に位相を持つ topological convexity space を考えている。

• convexity set
• topological convexity space

この\(n\)-Category Caféのpost では, アフィン空間や凸集合を operad 上の algebra として定義することが議論されている。

このような抽象的な凸集合の扱いは, かなり古くから様々な人が独立に思いついてきたようである。 Fritz の [Fri] もそのような論文の一つで, version 3 の最初には, いろんな人の仕事の焼き直しにすぎない, ということが書いてある。 そこでは, Stone の [Sto49] が最初だろう, と書いてある。 他に上げられているのは, universal algebra を使った Neumann の [Neu70], 量子力学への応用を考えた Gudder の[Gud73; Gud79; GS80], abstract convex set の圏を考えた Swirszczの [Świ74] である。

一方, MathOverflow でも質問があり, その回答では, Romanowska の仕事が上げられている。例えば, Romanowska と Smith の本 [RS02] がある。 nLab のページも有用である。

Sturtz [Stu18] は Börgerと Kemp [BK94] の本の定義を使っている。 また別の algebraic theory を用いたアプローチとして Meng の thesis [Men88] を挙げている。

Sturtz は, 最初この論文で Giry monad [Gir82] という measurable space の category 上の monad 上 の algebra の圏が convex space の圏と同値であると主張したが, Crhák [Crha; Crhb] により間違いであることが指摘されている。 Sturtz は最新版では, Giry monad 上の algebra の圏は “tame convex measurable space” の圏と同値であると修正している。

• Giry monad

References

[BF87]

T. Bonnesen and W. Fenchel. Theory of convex bodies. Translated from the German and edited by L. Boron, C. Christenson and B. Smith. BCS Associates, Moscow, ID, 1987, pp. x+172. isbn: 0-914351-02-8.

[BK94]

Reinhard Börger and Ralf Kemper. “Cogenerators for convex spaces”. In: Appl. Categ. Structures 2.1 (1994), pp. 1–11. url: http://dx.doi.org/10.1007/BF00878499.

[BZ88]

Yu. D. Burago and V. A. Zalgaller. Geometric inequalities. Vol. 285. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften [Fundamental Principles of Mathematical Sciences]. Translated from the Russian by A. B. Sosinskiı̆, Springer Series in Soviet Mathematics. Springer-Verlag, Berlin, 1988, pp. xiv+331. isbn: 3-540-13615-0. url: https://doi.org/10.1007/978-3-662-07441-1.

[Crha]

Tomas Crhak. A note on \(σ\)-algebras on sets of affine and measurable maps to the unit interval. arXiv: 1803.07956.

[Crhb]

Tomas Crhak. On functors from category of Giry algebras to category of convex spaces. arXiv: 1804.01345.

[Daw87]

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[Fri]

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[Gir82]

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[GS80]

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[Gud73]

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[Gud79]

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[Hep23]

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[Ken23]

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[KK93]

Jeff Kahn and Gil Kalai. “A counterexample to Borsuk’s conjecture”. In: Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.) 29.1 (1993), pp. 60–62. url: http://dx.doi.org/10.1090/S0273-0979-1993-00398-7.

[KW71]

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[Men88]

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[RS02]

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[Sch14]

Rolf Schneider. Convex bodies: the Brunn-Minkowski theory. expanded. Vol. 151. Encyclopedia of Mathematics and its Applications. Cambridge University Press, Cambridge, 2014, pp. xxii+736. isbn: 978-1-107-60101-7.

[Sto49]

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[Stu18]

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[Świ74]

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[Zak12]

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[Zak13]

Inna Zakharevich. “Simplicial polytope complexes and deloopings of \(K\)-theory”. In: Homology Homotopy Appl. 15.2 (2013), pp. 301–330. arXiv: 1102.4278. url: https://doi.org/10.4310/HHA.2013.v15.n2.a18.

[Zak17]

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