Combinatorial Models for Complements of Arrangements

実ベクトル空間の中の hyperplane arrangement の場合には, complement は凸多面体 (有界でないものも含む) の内部の disjoint union に分解するので, トポロジーの対象としては興味深いものには見えない。ところが, その complement の組み合せ論的性質が, その複素化の complement のホモトピー型を決定していることが分かっているのである。 それを具体的に表すのが Salvetti complex である。

• Salvetti complex

他にも次のようなモデルがある。

• Orlik complex [Orl92]
• Orlik complex と Salvetti complex は homotopy 同値 [Arv91]
• Falk による \(\R ^2\) のreal affine line arrangement の complexification のモデル [Fal93]
• Davis-Januszkiewicz space \(DJ(K)\) の \(BT^n\) への inclusion の homotopy fiber [BP02]
• hyperplane section による minimal CW-complex [Yos07; IY]

Buchstaber と Panov [BP99; BP00] は, Davis-Januszkiewicz space を用いて, coordinate subspace arrangement の complement の cohomology を調べている。余次元 \(2\) の coordinate subspace arrangement の場合は, Grbic と Theriault [GT04] により球面の wedge になっていることが分かっている。Grbic と Therirault は, [GT07] で, complement が球面の wedge になるための条件を調べている。

Subspace arrangement の complement の compacitification として, De Concini と Procesi の “wonderful model” [DP95] がある。

• De Concini と Procesi の “wonderful model”

代数幾何を用いた別のモデルとしては, Proudfoot の [Pro07] がある。そこでは real hyperplane arrangement \(\mathcal{A}\) に対し prevariety \(\mathcal{Z}(\mathcal{A})\) で, \(\mathcal{A}\) の complexifification の complement が \(\mathcal{Z}(\mathcal{A})\)上 の affine bundle の total space になっているものが構成されている。

\(K(\pi ,1)\) である arrangement の場合には, その基本群の分類空間のモデルを考えることと, 同じである。例えば, (複素) braid arrangement の complement の基本群は braid 群であるが, braid 群は Garside群 なので, Charney と Meier と Whittlesey [CMW04] の Garside 群の分類空間の構成が使える。

References

[Arv91]

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[BP00]

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[BP02]

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[GT04]

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[GT07]

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[IY]

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