Invariants of Hyperplane Arrangements

超平面配置の不変量としては, まず intersection lattice などの poset がある。

• intersection lattice

実超平面配置の場合, 超平面達によって切り刻まれて, regular cellular stratification ができるが, その stratum は, (非有界なものも含めた) 凸多面体である。これらを, その arrangement の face と呼び, それらから成る poset を face poset と呼ぶ。

• 実超平面配置 による cellular stratification
• 実超平面配置 の face poset

Central な場合は, face poset は原点を頂点とする convex cone の集まりであるが, central ではない場合, 有界な convex polytope と有界でないものの二種類から成る。Simple な場合, 有界なものを集めてくると常に ball と同相になる, というのは Zaslavsky の予想だったらしい。Dong の [Don08] でより一般的な uniform affine oriented matroid の場合が証明されている。

Characteristic polynomial は intersection lattice の Möbius function を 用いて定義される多項式である。

• characteristic polynomial

より一般に, matroid の多項式不変量として定義される。 また graphic arrangement の characteristic polynomial は, 本質的にはその graph の chromatic polynomial であり, chromatic polynomial の一般化と考えることもできる。

他にも Tutte polynomial などの多項式不変量が考えられている。Tutte polynomial は Ardila [Ard07] により導入された。

• Tutte polynomial

これらの超平面配置に対して定義される多項式の categorification も考えられている。Dancso と Licata の [DL15] など。

超平面配置の組み合せ論的構造を表すものとして matroid がある。実超平面配置の場合は, oriented matroid である。 実超平面配置の face lattice には, 積を定義し semigroup の構造を入れることができるが, それも oriented matroid の言葉で述べた方が見通しが良くなる。もちろん, face 同士の幾何学的な関係として理解することも重要であるが。

• matroid of hyperplane arrangement
• oriented matroid of real hyperplane arrangement

代数的な不変量としては次のようなものがある。

• Orlik-Solomon algebra
• Orlik-Terao algebra [OT94]
• Varchenko-Gel\('\)fand ring [Dor23; DPW24]
• module of derivations

幾何学的不変量としては, 実あるいは複素超平面配置の場合, まずはその補集合がある。実超平面配置の複素化の場合, その homotopy type を表すものとして, Salvetti complex がある。

• Salvetti complex

他にも次のようなものがある。

• realization space
• matroid Schubert variety [AB16]

References

[AB16]

Federico Ardila and Adam Boocher. “The closure of a linear space in a product of lines”. In: J. Algebraic Combin. 43.1 (2016), pp. 199–235. arXiv: 1312.6874. url: https://doi.org/10.1007/s10801-015-0634-x.

[Ard07]

Federico Ardila. “Computing the Tutte polynomial of a hyperplane arrangement”. In: Pacific J. Math. 230.1 (2007), pp. 1–26. arXiv: math/0409211. url: http://dx.doi.org/10.2140/pjm.2007.230.1.

[DL15]

Zsuzsanna Dancso and Anthony Licata. “Odd Khovanov homology for hyperplane arrangements”. In: J. Algebra 436 (2015), pp. 102–144. arXiv: 1205.2784. url: https://doi.org/10.1016/j.jalgebra.2015.04.012.

[Don08]

Xun Dong. “The bounded complex of a uniform affine oriented matroid is a ball”. In: J. Combin. Theory Ser. A 115.4 (2008), pp. 651–661. arXiv: math/0610575. url: https://doi.org/10.1016/j.jcta.2007.07.009.

[Dor23]

Galen Dorpalen-Barry. “The Varchenko-Gel’fand ring of a cone”. In: J. Algebra 617 (2023), pp. 500–521. arXiv: 2104.02740. url: https://doi.org/10.1016/j.jalgebra.2022.11.010.

[DPW24]

Galen Dorpalen-Barry, Nicholas Proudfoot, and Jidong Wang. “Equivariant cohomology and conditional oriented matroids”. In: Int. Math. Res. Not. IMRN 11 (2024), pp. 9292–9322. arXiv: 2208.04855. url: https://doi.org/10.1093/imrn/rnad025.

[OT94]

Peter Orlik and Hiroaki Terao. “Commutative algebras for arrangements”. In: Nagoya Math. J. 134 (1994), pp. 65–73.