超平面配置

超平面配置の定義は非常に単純で, 単に超平面の集合というだけである。単純すぎて, 一見何が面白いのか分からないかもしれない。 とりあえず様々な例を自分の手でいじってみるのがいいだろう。

超平面配置について学びたいと思った人は, まずは Orlik と Terao の本 [OT92] を見るべきだろう。 MIT の OpenCousreWare で公開されている lecture note の中にも R. Stanley の hyperplane arrangements がある。内容は[Sta07] とほぼ同じようである。 De Concini-Procesi の wonderful model の解説ではあるが, Feichtner の [Fei05] も読み易い。主要な定義をまとめたものとして, 2009年8月の北大での conference の Yuzvinsky による解説の PDF ファイルは便利である。未解決問題等については, Schenck の [Scha] がある。その Introduction にも, いくつか survey が紹介されている。

超平面配置は, いくつかの type に分けられて, それぞれ名前が付いている。

• braid arrangement とその変種
• Coxeter arrangement
• simplicial arrangement
• supersolvable arrangement あるいは fiber-type arrangement
• free arrangement
• formal arrangement, より一般に \(k\)-formal arrangement
• resonance arrangement

Supersolvable arrangement は Jambu と Terao [JT84] により導入されたものであるが, Falk と Randell により [FR85] で導入された fiber-type arrangement と同じものである。これは, Terao [Ter86] により示されたことである。

Free arrangement の解説としては, Yoshinaga の [Yos] がある。

Kühnel [Küh] によると resonance arrangement という言葉は, Shadrin, Shapiro, Vainshtein により [SSV08] の中で導入されたもののようである。 他にも, adjoint of the braid arrangement [AM17; LNO] や all-subsets arrangement [KTT11; KTT12] という名前でも呼ばれている。

具体例としては, graph からできるものや reflection group に関係したものがある。

• graph や hypergraph からできる arrangement
• reflection arrangement

超平面配置の研究では, その組み合せ論的構造が本質的である。 超平面がちょっとぐらい傾いても構わないが, 他の超平面との交わり方が変わるようになるまで動いては困る。 このように「連続的変形」の観点から見ると, トポロジストにとって理解し易いかもしれない。 その組み合せ論的構造を表すのが intersection lattice である。

• 超平面の共通部分を取ることにより得られる lattice (intersection lattice)

Intersection lattice の中で最低次元のものが \(0\) 次元になるものを essential arrangement という。 また, 属する全ての超平面の共通部分が空でないものを central arrangement という。全ての超平面がベクトル空間になっているものを linear arrangement というが, linear arrangement は central である。

• essential arrangement
• central arrangement
• linear arrangement

Characteristic polynomial は intersection lattice の Möbius function を 用いて定義される多項式である。

• characteristic polynomial

より一般に, matroid の多項式不変量として定義される。 また graphic arrangement の characteristic polynomial は, 本質的にはその graph の chromatic polynomial であり, chromatic polynomial の一般化と考えることもできる。 Tutte polynomial を考えることもできる。

これらの超平面配置に対して定義される多項式の categorification を考えて いるのは, Dancso と Licata の [DL] である。

また, 実超平面配置の場合, 超平面達によって切り刻まれて, regular cellular stratification ができるが, その stratum は, (非有界なものも含めた) 凸多面体である。これらを, その arrangement の face と呼び, その集合を face poset と呼ぶ。

• 実超平面配置 による cellular stratification
• 実超平面配置 の face poset

Central な場合は, face poset は原点を頂点とする convex cone の集まりであるが, central ではない場合, 有界な convex polytope と有界でないものの二種類から成る。Simple な場合, 有界なものを集めてくると常に ball と同相になる, というのは Zaslavsky の予想だったらしい。Dong の [Don] でより一般的な uniform affine oriented matroid の場合が証明されている。

他にも, 超平面配置に関連した様々な概念や構成が発見されている。 中でも重要なのは, oriented matroid である。 実超平面配置の face lattice には, 積を定義し semigroup の構造を入れることができるが, それも oriented matroid の言葉で述べた方が見通しが良くなる。もちろん, face 同士の幾何学的な関係として理解することも重要であるが。

• 実超平面配置の face poset の matroid product による semigroup の構造とそれによる semigroup ring
• vector configuration から central arrangement ができる
• 実ベクトル空間の vector configuration から oriented matroid ができる
• 実ベクトル空間の vector configuration に対する Jeffery-Kirwan residue [BV99]

Jeffery-Kirwan residue は, 超平面配置に pole を持つ rational function に関係したものである。 凸多面体の体積に関する公式がある。Brion と Vergne の [BV99] や Baldoni-Silva と Vergne の [BV] を見るとよい。

超平面配置は, \(\R \) や \(\bbC \) 以外の体上のものを考えることもできるが, トポロジーに関係したものは, 実超平面配置と複素超平面配置だろう。その違いについて, 例えば, Ziegler の [Zie93] がある。

四元数上の arrangement を考えている人もいる。 Schlieper の [Schb] など。

References

[AM17]

Marcelo Aguiar and Swapneel Mahajan. Topics in hyperplane arrangements. Vol. 226. Mathematical Surveys and Monographs. American Mathematical Society, Providence, RI, 2017, pp. xxiv+611. isbn: 978-1-4704-3711-4. url: https://doi.org/10.1090/surv/226.

[BV]

Welleda Baldoni-Silva and Michéle Vergne. Residues formulae for volumes and Ehrhart polynomials of convex polytopes. arXiv: math/0103097.

[BV99]

Michel Brion and Michèle Vergne. “Arrangement of hyperplanes. I. Rational functions and Jeffrey-Kirwan residue”. In: Ann. Sci. École Norm. Sup. (4) 32.5 (1999), pp. 715–741. arXiv: math/9903178. url: http://dx.doi.org/10.1016/S0012-9593(01)80005-7.

[DL]

Zsuzsanna Dancso and Anthony Licata. Odd Khovanov Homology for Hyperplane Arrangements. arXiv: 1205.2784.

[Don]

Xun Dong. The bounded complex of a uniform affine oriented matroid is a ball. arXiv: math/0610575.

[Fei05]

Eva Maria Feichtner. “De Concini-Procesi wonderful arrangement models: a discrete geometer’s point of view”. In: Combinatorial and computational geometry. Vol. 52. Math. Sci. Res. Inst. Publ. Cambridge: Cambridge Univ. Press, 2005, pp. 333–360. arXiv: math/0403183.

[FR85]

Michael Falk and Richard Randell. “The lower central series of a fiber-type arrangement”. In: Invent. Math. 82.1 (1985), pp. 77–88. url: http://dx.doi.org/10.1007/BF01394780.

[JT84]

Michel Jambu and Hiroaki Terao. “Free arrangements of hyperplanes and supersolvable lattices”. In: Adv. in Math. 52.3 (1984), pp. 248–258. url: http://dx.doi.org/10.1016/0001-8708(84)90024-0.

[KTT11]

Hidehiko Kamiya, Akimichi Takemura, and Hiroaki Terao. “Ranking patterns of unfolding models of codimension one”. In: Adv. in Appl. Math. 47.2 (2011), pp. 379–400. arXiv: 1003.0040. url: https://doi.org/10.1016/j.aam.2010.11.002.

[KTT12]

Hidehiko Kamiya, Akimichi Takemura, and Hiroaki Terao. “Arrangements stable under the Coxeter groups”. In: Configuration spaces. Vol. 14. CRM Series. Ed. Norm., Pisa, 2012, pp. 327–354. arXiv: 1103.5179. url: https://doi.org/10.1007/978-88-7642-431-1_15.

[Küh]

Lukas Kühne. The Universality of the Resonance Arrangement and its Betti Numbers. arXiv: 2008.10553.

[LNO]

Zhengwei Liu, William Norledge, and Adrian Ocneanu. The adjoint braid arrangement as a combinatorial Lie algebra via the Steinmann relations. arXiv: 1901.03243.

[OT92]

Peter Orlik and Hiroaki Terao. Arrangements of hyperplanes. Vol. 300. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Fundamental Principles of Mathematical Sciences]. Springer-Verlag, Berlin, 1992, pp. xviii+325. isbn: 3-540-55259-6. url: https://doi.org/10.1007/978-3-662-02772-1.

[Scha]

Hal Schenck. Hyperplane Arrangements: Computations and Conjectures. arXiv: 1101.0356.

[Schb]

William Schlieper. The Cohomology of Quaternionic Hyperplane Complements. arXiv: 1508.05418.

[SSV08]

S. Shadrin, M. Shapiro, and A. Vainshtein. “Chamber behavior of double Hurwitz numbers in genus 0”. In: Adv. Math. 217.1 (2008), pp. 79–96. arXiv: math/0611442. url: https://doi.org/10.1016/j.aim.2007.06.016.

[Sta07]

Richard P. Stanley. “An introduction to hyperplane arrangements”. In: Geometric combinatorics. Vol. 13. IAS/Park City Math. Ser. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 2007, pp. 389–496.

[Ter86]

Hiroaki Terao. “Modular elements of lattices and topological fibration”. In: Adv. in Math. 62.2 (1986), pp. 135–154. url: http://dx.doi.org/10.1016/0001-8708(86)90097-6.

[Yos]

Masahiko Yoshinaga. Freeness of hyperplane arrangements and related topics. arXiv: 1212.3523.

[Zie93]

Günter M. Ziegler. “On the difference between real and complex arrangements”. In: Math. Z. 212.1 (1993), pp. 1–11. arXiv: alg-geom/9202005. url: http://dx.doi.org/10.1007/BF02571638.