Formal Arrangements

Falk と Randell は, [FR87] で formal arrangement の概念を定義した。その一般化として Brandt と Terao が [BT94] で \(k\)-formal arrangement の概念を定義した。\(2\)-formal arrangement が Falk-Randell の formal arrangement に一致する。

• \(k\)-formal arrangement

Falk と Randell の論文の定義では, 定義がはっきり書かれていない言葉が使われているので分かりずらい。 Brandt と Terao の論文を見るのが良いと思う。 そこでは, relation space という arrangement の超平面を定義する \(1\)-form の間の関係を記述するベクトル空間が用いられている。

• relation space

Brandt と Terao の目的は, free arrangement が formal であるという Yuzvinsky [Yuz93] の結果の精密化だった。

Tohaneanu は [Toh07] で, \(k\)-formal arrangement のある chain complex による定義を述べている。その応用として, graph から定まる arrangement について \(k\)-formality を調べている。

References

[BT94]

K. A. Brandt and H. Terao. “Free arrangements and relation spaces”. In: Discrete Comput. Geom. 12.1 (1994), pp. 49–63. url: http://dx.doi.org/10.1007/BF02574365.

[FR87]

Michael Falk and Richard Randell. “On the homotopy theory of arrangements”. In: Complex analytic singularities. Vol. 8. Adv. Stud. Pure Math. North-Holland, Amsterdam, 1987, pp. 101–124. url: https://doi.org/10.2969/aspm/00810101.

[Toh07]

Stefan O. Tohǎneanu. “Topological criteria for \(k\)-formal arrangements”. In: Beiträge Algebra Geom. 48.1 (2007), pp. 27–34. arXiv: math/ 0608448.

[Yuz93]

Sergey Yuzvinsky. “The first two obstructions to the freeness of arrangements”. In: Trans. Amer. Math. Soc. 335.1 (1993), pp. 231–244. url: http://dx.doi.org/10.2307/2154266.