Graph や hypergraph からできる arrangement

完全グラフの部分グラフになっているグラフ \(\Gamma \) が与えられると, \(i\)番目の頂点と\(j\)番目の頂点が辺で結ばれているときに \(x_i=x_j\) という超平面を考えることにより, braid arrangement の subarrangement ができる。Orlik と Terao の本 [OT92] の §2.4 に書いてある。

• graphic arrangement

その一般化として, Lutz [Lut19] は Dirichlet arrangement という arrangement を調べている。

• Dirichlet arrangement

電気回路や有限 poset の order complex と関係があるらしい。

自然な一般化として, hypergraph からは, subspace arrangement ができる。Miller と Wakefield の [MW12] など。 Braid arrangement に対応するのが \(k\)-equal arrangement と呼ばれるものである。

• hypergraphic arrangement
• \(k\)-equal arrangement

Flow polynomial や, より一般に Tutte polynomial を, その graph に associate した arrangement の characteristic polynomial で表すことも考えられている。Chen の [Che10] などである。

Gain graph という, 辺がある群の元でラベル付けされた graph の変種があるが, その群が \(\Z \) のときは, affinographic arrangement という hyperplane arrangement ができる。

• integral gain graph に対する affinographic arrangement

Berthome, Cordovil, Forge, Ventos, Zaslavsky の [Ber+09] では, そのような arrangement として Catalan arrangement, Shi arrangement, Linial arrangement が調べられている。

Hopkins と Perkinson [HP16] は, グラフ \(G\) とその頂点の個数の大きさの行列 \(A\) から bigraphic arrangement という hyperplane arrangement を定義している。Parking function と関係あるらしい。

グラフの中の indepent set とその上の実数値関数を指定したものは, Kirchhoff による電気回路の研究に関係している。そこから定義された hyperplane arrangement が Bob Lutz [Lut19] により Kirchhoff arrangement と呼ばれ調べられている。

• Kirchhoff arrangement

Braid arrangement (の補集合) を configuration space に一般化したものも考えられている。

• graphic configuration space

Toric arrangement に対する類似もある。 Develin, Macauley, Reiner の[DMR16] など。

• toric graphic arrangement

References

[Ber+09]

Pascal Berthomé, Raul Cordovil, David Forge, Véronique Ventos, and Thomas Zaslavsky. “An elementary chromatic reduction for gain graphs and special hyperplane arrangements”. In: Electron. J. Combin. 16.1 (2009), Research Paper 121, 31. arXiv: 1001.4216. url: http://www.combinatorics.org/Volume_16/Abstracts/v16i1r121.html.

[Che10]

Beifang Chen. “Orientations, lattice polytopes, and group arrangements. I. Chromatic and tension polynomials of graphs”. In: Ann. Comb. 13.4 (2010), pp. 425–452. arXiv: 1007.2453. url: http://dx.doi.org/10.1007/s00026-009-0037-6.

[DMR16]

Mike Develin, Matthew Macauley, and Victor Reiner. “Toric partial orders”. In: Trans. Amer. Math. Soc. 368.4 (2016), pp. 2263–2287. arXiv: 1211.4247. url: https://doi.org/10.1090/tran/6356.

[HP16]

Sam Hopkins and David Perkinson. “Bigraphical arrangements”. In: Trans. Amer. Math. Soc. 368.1 (2016), pp. 709–725. arXiv: 1212. 4398. url: https://doi.org/10.1090/tran/6341.

[Lut19]

Bob Lutz. “Electrical networks and hyperplane arrangements”. In: Adv. in Appl. Math. 110 (2019), pp. 375–402. arXiv: 1709.01227. url: https://doi.org/10.1016/j.aam.2019.07.003.

[MW12]

Matthew S. Miller and Max Wakefield. “Edge colored hypergraphic arrangements”. In: Pure Appl. Math. Q. 8.3 (2012), pp. 757–779. arXiv: 0903.4221. url: https://doi.org/10.4310/PAMQ.2012.v8.n3.a9.

[OT92]

Peter Orlik and Hiroaki Terao. Arrangements of hyperplanes. Vol. 300. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Fundamental Principles of Mathematical Sciences]. Springer-Verlag, Berlin, 1992, pp. xviii+325. isbn: 3-540-55259-6. url: https://doi.org/10.1007/978-3-662-02772-1.