k-equal Arrangements

Braid arrangement は, 2つの座標が等しい ことで定義される超平面達の成す hyperplane arrangement であるが, より一般に \(k\) 個の座標が等しい部分ベクトル空間の成す subspace arrangement も考えられる。

例えば Khovanov が [Kho96] で \(3\)-equal arrangement を調べている。 Khovanov は, その complement が \(K(\pi ,1)\)で あることを証明し, またその基本群も決定した。Severs と White の [SW12] によると, homology は Björner と Welker の [BW95] で決定されたようである。

\(3\)-equal arrangement の補集合の基本群は, Mostovoy の [Mos] や Farley の [Far] では, planar pure braid group と呼ばれている。Guba と Sapir [GS97] の意味での diagram group になっているようである。

• planar pure braid group
• diagram group

\(k\)-equal arrangement の \(B\) 型や \(D\) 型への一般化についても, Björner と Sagan [BS96] などにより定義され調べられている。

より一般の Coxeter group に対しては, Barcelo と Severs と White [BSW11] が \(k\)-parabolic arrangement という subspace arrangement を定義し, Khovanov の結果の類似を \(3\)-parabolic arrangement に対し証明している。

• \(k\)-parabolic arrangement

Severs と White [SW12] は \(k\)-parabolic arrangement の complement の homotopy type を表わす cell complex を構成している。

\(k\)-equal arrangement は, hypergraph から定義される hypergraphc arrangement と呼ばれる subspace arrangement の class でもある。

• graph や hypergraph からできる arrangement

References

[BS96]

Anders Björner and Bruce E. Sagan. “Subspace arrangements of type \(B_n\) and \(D_n\)”. In: J. Algebraic Combin. 5.4 (1996), pp. 291–314. url: http://dx.doi.org/10.1023/A:1022492431260.

[BSW11]

Hélène Barcelo, Christopher Severs, and Jacob A. White. “\(k\)-parabolic subspace arrangements”. In: Trans. Amer. Math. Soc. 363.11 (2011), pp. 6063–6083. arXiv: 0909 . 0720. url: http://dx.doi.org/10.1090/S0002-9947-2011-05336-5.

[BW95]

Anders Björner and Volkmar Welker. “The homology of “\(k\)-equal” manifolds and related partition lattices”. In: Adv. Math. 110.2 (1995), pp. 277–313. url: http://dx.doi.org/10.1006/aima.1995.1012.

[Far]

Daniel S. Farley. The planar pure braid group is a diagram group. arXiv: 2109.02815.

[GS97]

Victor Guba and Mark Sapir. “Diagram groups”. In: Mem. Amer. Math. Soc. 130.620 (1997), pp. viii+117. url: https://doi.org/10.1090/memo/0620.

[Kho96]

Mikhail Khovanov. “Real \(K(\pi ,1)\) arrangements from finite root systems”. In: Math. Res. Lett. 3.2 (1996), pp. 261–274.

[Mos]

Jacob Mostovoy. A presentation for the planar pure braid group. arXiv: 2006.08007.

[SW12]

Christopher Severs and Jacob A. White. “On the homology of the real complement of the \(k\)-parabolic subspace arrangement”. In: J. Combin. Theory Ser. A 119.6 (2012), pp. 1336–1350. arXiv: 1012. 3387. url: https://doi.org/10.1016/j.jcta.2012.03.008.