Hyperplane arrangement の complement の(コ)ホモロジー

Salvetti complex の構成からも分かるように, complex hyperplane arrangement の complement の コホモロジーは, real arrangement の複素化になっている場合が扱い易い。まずは次の Zaslavsky の結果 [Zas75] がある。

• Real hyperplane arrangement \(\mathcal{A}\) の複素化の complement \(M(\mathcal{A}\otimes \bbC )\) について次の式が成り立つ: \[ |\mathcal{L}^{(0)}(\mathcal{A})| = \sum _i b_i(M(\mathcal{A}\otimes \bbC )) \] ここで \(\mathcal{L}^{(0)}(\mathcal{A})\) は \(\cA \) の chamber の集合であり, \(b_i\) は Betti数である。

Configuration space もそうであるが, arrangement の場合も 局所係数のコホモロジーに意味のある場合が多い。 Complement の局所係数のコホモロジーについては, Esnault と Schechtman と Viehweg の [ESV92] という結果がある。それを拡張したのが, Schechtman と Terao と Varchenko の [STV95] である。他にも [Koh87; SV91] などがある。Daniel Cohen は [Coh98] で自明 な係数の場合との Betti 数の比較を行なっている。

自明な係数の場合については, 有名な Orlik と Solomon の結果がある。

• Orlik-Solomon algebra [OS80; DP95]
• Varchenko-Gel’fand algebra [VG87]

Orlik-Solomon algebra に associate した holonomy Lie algebra と homotopy Lie algebra について, Denham と Suciu が [DS06] で調べている。その中の homotopy Lie algebra が finitely presented ではない arrangement があるかという問題 (Question 1.7) は, Roos により [Roo] で解決された。Roos は, finitely presented ではない例を作っている。

Orlik-Solomon algebra からは, resonace variety という algebraic variety もできる。Orlik-Solomon algebra は, \(1\)次元の元で生成された外積代数の quotient algebra なので, \(1\)次元の元 \(a\) をかける作用素により cochain complex ができる。 その cochain complex の\(k\)次コホモロジーが非自明になる \(a\) を集め, 射影空間の部分集合を構成したものが \(k\)次 resonance variety である。

Falk の [Fal07] によると, いろんな分野に関係するもののようである。

• resonance variety

Lima-Filho と Schenck [LS] によると, \(1\)次の resonance variety の研究は, Falk の [Fal97] が出発点らしい。Pereira の [Per12] によると, \(1\)次の resonance variety の表示については, Falk と Yuzvinsky の [FY07] による\(1\)次のコホモロジー上の quadratic form の isotropic subspace というものもある。

Pereira は, arrangement に対し web という構造を定義し, それを調べることを提案している。

Proudfoot は [Pro06b] で \(\Z _2\)-equivariant Orlik-Solomon algebra を定義している。

Orlik-Solomon algebra の“可換版”として, Orlik-Terao algebra というものがある。Orlik と Terao により[OT94] で導入された。

Orlik-Solomon algebra は arrangment の組み合せ論的情報で定義されている。 よって, Orlik-Solomon algebra の定義は matroid に一般化できる。Zharkov [Zha13] は, その matroid の Orlik-Solomon algebra が matroid の Bergman fan の tropical cohomology と同型になると言っている。

このように, hyperplane arrangement の complement のコホモロジーは, arrangement の組み合せ論的情報で記述できる。 より一般の linear subspace arrangement の場合も (積構造も込めて) 組み合せ論的構造で決まるだろうという予想があったが, それも肯定的に解決 [DGM00; LS01] されている。この問題の歴史的経緯については, Feichtner の [Fei05] の §2.2 で簡潔にまとめられている。

Randell [Ran02] や Dimca と Papadima [DP03] により, 複素 hyperplane arrangement の complement は, minimal, つまり\( i\)次元胞体の数が \(i\)次 Betti 数と等しくなるような CW複体のホモトピー型を持つことが分かっている。 それを discrete Morse theory を使って詳しく調べたのが, Salvetti と Settepanella の [SS07] であり, 局所係数のコホモロジーの計算に有用らしい。

Ito と Yoshinaga [IY] は, 各 stratum の closure が Borel-Moore homology の基底になっているような, semialgebraic set による分割を考えている。

代数幾何学の視点からは, hyperplane arrangement を特異点を持つ代数多様体と考えるのが自然である。よって perverse sheaf を考えたくなる。実際, Khoroshkin と Varchenko の [KV06] という論文がある。

更に, 代数幾何学との関連では complement の motivic cohomology [Cha07] や étale cohomology [DGM00; Cha12] を計算している人もいる。

他の(コ)ホモロジー論については, 思った程は調べられていないようである。Real arrangement の complexification の 場合には, (\(\Z /2\Z \)-equivariant) \(K\)-theory が, Proudfoot の [Pro06a] で計算されている。

複素 hyperplane arrangement の complement は, 離散群の \(K(\pi ,1)\) になっていることが多いことから, \(L^2\)不変量を考えようというのは自然なアイデアである。 実際, Davis と Januskiewicz と Leary が [DJL07] で調べている。Reflection arrangement の場合は, Dymara [Dym06; Dav+07] が Coxeter system に対して定義した weighted \(L^2\)-Betti 数というのもあり, Davis ら [DO12] が調べている。

References

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