(コ)ホモロジーから定義される代数多様体

(コ)ホモロジーから, 代数多様体や schemeを定義することを最初に考えたのは誰なのだろうか。

可換環に係数を持つコホモロジーは, (次数付き) 可換環になるので, その \(\mathrm{Spec}\) を考えることができる。例えば, Quillen の [Qui71] など。

素イデアルではなく, 極大イデアルの成す空間を使う場合もある。 Papadima と Suciu の [PS] など。

関連して, 古くから以下の variety が調べられている。 これらを (co)homology jump loci と呼ぶようである。

• characteristic variety
• resonance variety

有限型のCW複体 \(X\) と係数体 \(k\) に対し, 前者は基本群の \(1\) 次元表現の成す空間 \(\Hom (\pi _1(G),k^{\times })\) の subvariety, 後者は \(H^1(X;k)\) の homogeneous subvariety である。 これらについては, Suciu の survey [Suc11] があるので, まずはこれを読んでみるのがよいと思う。

基本群の character \(\rho : \pi _1(X)\to k^{\times }\) が与えられると, \(X\) 上の rank \(1\) 局所係数が得られるが, characteristic variety は その homology の次元の条件で定義される。 Arapura の [Ara97; Ara] では, cohomology を用いて類似のものが定義され, cohomology support lociと呼ばれている。

\(k=\bbC \) の場合, \((\bbC ^{\times })^n\) の \(\Z \) 上定義された任意の subvariety に対し, それを有限CW複体の characteristic variety として実現するという問題を, Wang [Wan] が考えている。

一方, resonance variety は, \(1\)次元 cohomology の元 \(a\in H^1(X;k)\) に対し, それを \(H^*(X;k)\) に掛けることで得られる cochain complex のコホモロジーの次元により定義されるものである。 Dimca と Papadima と Suciu [DPS09] によると, resonance variety は, Falk [Fal97] により, complex hyperplane arrangement の文脈で導入されたもののようである。

References

[Ara]

Donu Arapura. Geometry of cohomology support loci II: integrability of Hitchin’s map. arXiv: alg-geom/9701014.

[Ara97]

Donu Arapura. “Geometry of cohomology support loci for local systems. I”. In: J. Algebraic Geom. 6.3 (1997), pp. 563–597. arXiv: alg-geom/9612006.

[DPS09]

Alexandru Dimca, Ştefan Papadima, and Alexander I. Suciu. “Topology and geometry of cohomology jump loci”. In: Duke Math. J. 148.3 (2009), pp. 405–457. arXiv: 0902.1250. url: http://dx.doi.org/10.1215/00127094-2009-030.

[Fal97]

Michael Falk. “Arrangements and cohomology”. In: Ann. Comb. 1.2 (1997), pp. 135–157. url: http://dx.doi.org/10.1007/BF02558471.

[PS]

Stefan Papadima and Alexander I. Suciu. Jump loci in the equivariant spectral sequence. arXiv: 1302.4075.

[Qui71]

Daniel Quillen. “The spectrum of an equivariant cohomology ring. I, II”. In: Ann. of Math. (2) 94 (1971), 549–572, ibid. (2) 94 (1971), 573–602. url: https://doi.org/10.2307/1970770.

[Suc11]

Alexander I. Suciu. “Fundamental groups, Alexander invariants, and cohomology jumping loci”. In: Topology of algebraic varieties and singularities. Vol. 538. Contemp. Math. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 2011, pp. 179–223. arXiv: 0910.1559. url: http://dx.doi.org/10.1090/conm/538/10600.

[Wan]

Botong Wang. Examples of topological spaces with arbitrary cohomology jump loci. arXiv: 1304.0239.