離散群からLie群への準同形の成す空間

離散群 \(\pi \) から Lie群 \(G\) への準同形の成す空間 \(\Hom (\pi ,G)\) やそれを conjugation による作用で割った空間 \(\Hom (\pi ,G)/G\) は様々な場面で現れる。

例えば, Lie群 \(G\) の中の互いに可換な元の成す空間は \(\Hom (\Z ^2,G)\) であり様々な人により調べられている。Adem と Cohen の [AC07] では, \(G=\mathrm{SU}(2)\) の場合のコホモロジーが計算されている。

• Lie 群の互いに可換な元の組の成す空間

Adem と Cohen の論文では, 一般の \(\Hom (\pi ,G)\) の性質もまとめられている。 そこで参照されているのは, Goldman の [Gol88] である。Goldman の論文は, \(G\) が \(\mathrm{PSL}_2(\R )\) やそれに関連した群で, \(\pi \) が閉曲面の基本群の場合であるが, §2では一般的な場合が考察されている。Surveyとしては Cohen と Stafa の [CS] が出た。

Adem と Cohen の論文の motivation の一つは, hyperplane arrangement の complement の基本群の表現の空間を調べることにあるようであるが, それについては, Kapovich と Millson の研究 [KM98] がある。

\(M\) が smooth surface の場合, \(\Hom (\pi _1(M),G)/G\) は \(M\) の \(G\)-character variety と呼ばれるようである。\(M\) の mapping class group が作用するので, その作用について調べられている。 [Pal; Had] など。

基本群と言えば, 局所係数コホモロジーであるが, \(\Hom (\pi _{1}(X),k^{\times })\) の元 \(\rho \) からは, \(k\) を \(\rho \) で捻ることにより, \(X\) 上の局所係数が得られ, そのホモロジーに関する条件で, character variety から characteristic variety などの character variety の subvariety が定義される。

• characteristic variety

\(\pi \) が \(n\)個の元で生成された自由群 \(F_n\) のときは \(\Hom (F_n,G)=G^n\) であり, これを \(n\) に関し集めてくると, 分類空間の構成 のときの bar construction を得る。 自由Abel群を自由群の交換子群による商群とみなし, より一般に lower central series を用いて\(\Hom (F_n/\Gamma _q,G)\) を考えているのは, Adem と Cohen と Torres-Giese の [ACT12] である。これらも \(n\) に関し集めてくると simplicial set (space) になる。

Florentino と Lawton [FLb] は, 自由群 \(F\) と compact Lie 群 \(G\) とその複素化 \(G_{\bbC }\) に対し, \(\Hom (F,G)/G\) は \(\Hom (F,G_{\bbC })//G_{\bbC }\) の strong deformation retract になることを証明している。自由群 \(F\) は頂点1つの quiver から生成された free category とみなすことができるが, 彼等は [FLa] で, quiver のLie群に値を持つ表現への一般化を考えている。

\(G=\mathrm{PSL}_2(\R )\) の場合, Teichmüller space を連結成分として含んでいるので, Teichmüller space についてできることを, より一般の \(G\) に拡張しようというのは自然な発想である。 例えば, Thurston による Teichmüller space の compactification は, 様々な形で一般化されている。Wolff の [Wol] の Introduction を見るとよい。

境界を持つ \(3\) 次元の hyperbolic manifold \(M\) を一つ決めたときに, \(M\) とホモトピー同値になる \(3\) 次元 hyperbolic manifold の成す空間も構成できる。 Canary の [Can] など。

\(G\) が unitary 群の場合, \(\Hom (\pi ,U(n))\) を \(n\) に関して集めてくると, \(\mathrm{Map}(B\pi , \mathrm{BU})\) に近い空間ができそう, つまり \(B\pi \) の \(K\) 理論に関する情報が得られそう, と考えるのは自然である。それを実際に行なったものとして, Carlsson の deformation \(K\)-theoryがある。

• deformation \(K\)-theory

\(G=\mathrm{SU}(2)\) で \(\pi \) が link の complement の基本群の場合, Khovanov homology との関係が [JR] で考察されている。

無限次元の Hilbert 空間での表現の空間も考えられている。Espinoza と Uribe の [EU] など。

代数群や group scheme に対しては, 代数多様体や scheme として考えるべきである。 Berest ら [BRY] は, derived algebraic geometry を用いた拡張を提案している。その derived scheme のホモトピー群のことを representation homology と呼んでいる。

• representation variety あるいは representation scheme
• representation homology

Berest ら [BRY19] は, 更に離散群 \(\Gamma \) と \(B\Gamma \) を同一視して, 離散群の category を位相空間の category の subcategory とみなしたとき, representation variety を位相空間の圏上の関手への拡張を導入している。つまり \(B\Gamma \) に対しては \(\Gamma \) の representation homology と一致するような functor を定義している。

• derived representation scheme of simplicial set
• representation homology of simplicial set

References

[AC07]

Alejandro Adem and Frederick R. Cohen. “Commuting elements and spaces of homomorphisms”. In: Math. Ann. 338.3 (2007), pp. 587–626. arXiv: math/0603197. url: http://dx.doi.org/10.1007/s00208-007-0089-z.

[ACT12]

Alejandro Adem, Frederick R. Cohen, and Enrique Torres Giese. “Commuting elements, simplicial spaces and filtrations of classifying spaces”. In: Math. Proc. Cambridge Philos. Soc. 152.1 (2012), pp. 91–114. arXiv: 0901.0137. url: http://dx.doi.org/10.1017/S0305004111000570.

[BRY]

Yuri Berest, Ajay C. Ramadoss, and Wai-kit Yeung. Representation homology of topological spaces. arXiv: 1703.03505.

[BRY19]

Yuri Berest, Ajay C. Ramadoss, and Wai-kit Yeung. “Vanishing theorems for representation homology and the derived cotangent complex”. In: Algebr. Geom. Topol. 19.1 (2019), pp. 281–339. arXiv: 1801.01942. url: https://doi.org/10.2140/agt.2019.19.281.

[Can]

Richard D. Canary. Introductory bumponomics: the topology of deformation spaces of hyperbolic 3-manifolds. arXiv: 1001.2080.

[CS]

Frederick R. Cohen and Mentor Stafa. A survey on spaces of homomorphisms to Lie groups. arXiv: 1412.5668.

[EU]

Jesus Espinoza and Bernardo Uribe. Topological properties of spaces of projective unitary representations. arXiv: 1511.06785.

[FLa]

Carlos Florentino and Sean Lawton. Character Varieties and the Moduli of Quiver Representations. arXiv: 1104.2960.

[FLb]

Carlos Florentino and Sean Lawton. The topology of moduli spaces of free group representations. arXiv: 0807.3317.

[Gol88]

William M. Goldman. “Topological components of spaces of representations”. In: Invent. Math. 93.3 (1988), pp. 557–607. url: http://dx.doi.org/10.1007/BF01410200.

[Had]

Asaf Hadari. Algebraic Entropy and the Action of Mapping Class Groups on Character Varieties. arXiv: 0812.0853.

[JR]

Magnus Jacobsson and Ryszard L. Rubinsztein. Symplectic topology of \(\SU (2)\)-representation varieties and link homology, I: Symplectic braid action and the first Chern class. arXiv: 0806.2902.

[KM98]

Michael Kapovich and John J. Millson. “On representation varieties of Artin groups, projective arrangements and the fundamental groups of smooth complex algebraic varieties”. In: Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math. 88 (1998), 5–95 (1999). url: http://www.numdam.org/item?id=PMIHES_1998__88__5_0.

[Pal]

Frederic Palesi. Ergodic actions of mapping class groups on moduli spaces of representations of non-orientable surfaces. arXiv: 0807.1615.

[Wol]

Maxime Wolff. Connected components of the compactification of representation spaces of surface groups. arXiv: 0802.0512.